Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Systèmes chinois

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Systèmes chinois Exercice 1 [ 01216 ] [correction] Résoudre le système : ( x=2 [10] x=5 [13] Exercice 2 [ 01217 ] [correction] 0 0 0Soient a,b,a,b ∈Z avec b et b premiers entre eux.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Systèmes chinois

Exercice 1[ 01216 ][correction]
Résoudre le système :

Exercice 2[ 01217 ][correction]
Soienta b a0 b0∈Zavecbetb0
Montrer que le système

x= 2
(x= 5

[10]
[13]

premiers entre eux.
x=a[b]
(x=a0[b0]

possède des solutions et que celles-ci sont congrues entres elles modulobb0.

Enoncés

Exercice 3[ 01218 ][correction]
Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé deNpièces d’or d’égale
valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier
(non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués.
Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme
précédemment ; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul
le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la
mme manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale
que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Déterminons une solution particulière :x= 2 + 10k= 5 + 13k0aveck k0∈Z.
10k−13k0= 3. Cherchonsu v∈Ztel que10u+ 13v= 1.u= 4etv=−3
conviennent.
Prenonsk= 12,k0= 9ce qui donnex= 122.
Soitxune autre solution. On a
(xx]1=221[]0=21[231

donc10|x−122et13|x−122donc130|x−122et par suitex= 122 + 130k
aveck∈Z.
Inversement : ok.

Exercice 2 :[énoncé]
Il existeu v∈Ztel quebu+b0v1.
=
Soitx=a0bu+ab0v.
On ax=a0bu+a−abu=a[b]etx=a0−a0b0v+ab0v=a0[b0]doncxest
solution.
Soitx0une autre solution. On ax=x0[b]etx=x0[b0]doncb|(x0−x)et
b0|(x0−x).
Orb∧b0= 1doncbb0|(x0−x).
Inversement, soitx0tel quebb0|x0−x, on a bienx0=x=a[b]et
x0=x=a0[b0].

Exercice 3 :[énoncé]
Notonsx∈Nle montant du trésor. De part les hypothèses
x [17]= 3
x= 5 [6]
x= 4 [11]

Déterminons un entierxtel quex= 3 + 17k= 4 + 11k0= 5 + 6k00avec
k k0 k00∈Z.
On a(1117kk0−−611kk0001==1onc17k−6k00=
d2.

Ork=−2etk00=−6définit une solution particulière de cette équation dont la
solution générale est alors

k=−2 + 6`etk00=−6 + 17`car6∧17 = 1

Prenons`de sorte que11|17k−1.

17k−1 =−35 + 102`=−2 + 3`

Pour`= 8,k= 46,k0= 71etk00= 130on ax= 785.
La solution générale du système est

x= 785 + 1122k

[11]

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