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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Anneaux

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Anneaux

Exercice 1[ 00126 ][correction]
Soitf:C→Cun endomorphisme de l’anneau(C+×)tel que

∀x∈R f(x) =x

Montrer quefest l’identité ou la conjugaison complexe.

Exercice 2[ 00127 ][correction]
Soitaun élément d’un ensembleX.
Montrer l’applicationEa:F(XR)→Rdéfinie parEa(f) =f(a)est un
morphisme d’anneaux.

Exercice 3[ 00128 ][correction]
Pourd∈N, on note
Ad=(x y)∈Z2ddivise(y−x)

a) Montrer queAdest un sous anneau(Z2+×).
b) Inversement, soitAun sous anneau de(Z2+×).
Montrer queH={x∈Z(x0)∈A}est un sous groupe de(Z+).
c) En déduire qu’il existed∈Ntel queH=dZetA=Ad.

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posonsj=f(i). On aj2=f(i)2=f(i2) =f(−1) =−f(1) =−1doncj=±i.
Sij=ialors∀a b∈R,f(a+ib) =f(a) +f(i)f(b) =a+ibdoncf=IdC.
Sij=−ialors∀a b∈R,f(a+ib) =f(a) +f(i)f(b) =a−ibdoncf:z7→z.
¯

Exercice 2 :[énoncé]
Ea(x7→1) = 1.
∀f g∈ F(XR),Ea(f+g) = (f+g)(a) =f(a) +g(a) =Ea(f) +Ea(g)et
Ea(f g) = (f g)(a) =f(a)g(a) =Ea(f)Ea(g)doncEaest un morphisme
d’anneaux.

Exercice 3 :[énoncé]
a)Ad⊂Z2et1Z2= (11)∈Ad.
Pour(x y)(x0 y0)∈Ad,(x y)−(x0 y0) = (x−x0 y−y0)avec
d|(y−y0)−(x−x0)donc(x y)−(x0 y0)∈Ad.
Aussi(x y)(x0 y0) = (xx0 yy0)avecd|(yy0−xx0) = (y−x)y0+x(y0−x0)donc
(x y)(x0 y0)∈Ad.
b)H6=∅car0∈Het∀x y∈H,x−y∈Hcar(x−y0) = (x0)−(y0)∈A.
c)Hsous groupe de(Z+)donc il existed∈Ntel que

H=dZ

Pour tout(x y)∈A, on a(x y)−(y y) = (x−y0)∈Acar
(y y)∈<(11)>⊂A. Par suitex−y∈dZ.
Inversement, six−y∈dZalors(x−y0)∈Apuis
(x y) = (x−y0) +y(11)∈A.
Ainsi
(x y)∈A⇔x−y∈dZ

et donc alors

A=

(x y)∈Z2

ddivise(y−x)=Ad

2

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