Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Arithmétique

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Arithmétique Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02654 ] [correction] Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3. Exercice 1 [ 00155 ] [correction] Soit A un ensemble de n+1> 2 entiers distincts tous inférieurs ou égaux à 2n. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02656 ] [correction]Montrer qu’il existe deux éléments de A tels que l’un divise l’autre. Soient des entiers a> 1 et n> 0. nMontrer que si a +1 est premier alors n est une puissance de 2. Exercice 2 Centrale MP [ 02358 ] [correction] ?Pour n∈N , on désigne par N le nombre de diviseurs positifs de n et par P leur produit. Quelle relation existe-t-il entre n, N et P ? Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02657 ] [correction] n2Soit, pour n∈N, F = 2 +1.n 2a) Montrer, si (n,m)∈N avec n =m, que F ∧F = 1.Exercice 3 Centrale MP [ 02359 ] [correction] n m 4444 b) Retrouver à l’aide du a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.Soit A la somme des chiffres de 4444 , B celle de A et enfin C celle de B. Que vaut C? Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02658 ] [correction] Exercice 4 Centrale MP [ 02361 ] [correction] ? ϕ(n)√ a) Pour (a,n)∈Z×N avec a∧n = 1, montrer que a = 1 [n]. !Soit P∈Z[X] et a,b deux entiers relatifs avec b> 0 et b irrationnel.√ p a) Exemple : montrer que 6 est irrationnel. b) Pour p premier et k∈{1,...,p−1}, montrer que p divise .√ n kb) Quelle est la forme de (a+ b) ?√ √ ? 2 n−1c) Montrer que si a+ b est racine de P alors a− b aussi.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Arithmétique

Enoncés

Exercice 1[ 00155 ][correction]
SoitAun ensemble den+ 1>2entiers distincts tous inférieurs ou égaux à2n.
Montrer qu’il existe deux éléments deAtels que l’un divise l’autre.

Exercice 2Centrale MP[ 02358 ][correction]
Pourn∈N?, on désigne parNle nombre de diviseurs positifs denet parPleur
produit. Quelle relation existe-t-il entren,NetP?
Exercice 3Centrale MP[ 02359 ][correction]
SoitAla somme des chiffres de44444444,Bcelle deAet enfinCcelle deB. Que
vautC?

Exercice 4Centrale MP[ 02361 ][correction]
SoitP∈Z[X]eta bdeux entiers relatifs avecb >0et√birrationnel.
a) Exemple : montrer que√6est irrationnel.
b) Quelle est la forme de(a+√b)n?
c) Montrer que sia+√best racine dePalorsa−√baussi.
d) On suppose quea+√best racine double deP. Montrer queP=RQ2avecR
etQdansZ[X].

Exercice 5Centrale MP[ 02369 ][correction]
On suppose quenest un entier>2tel que2n−1est premier.
Montrer quenest nombre premier.

Exercice 6Centrale MP[ 02370 ][correction]
On notePl’ensemble des nombres premiers. Pour tout entiern >0, on note
vp(n)l’exposant depdans la décomposition denen facteurs premiers. On note
bxcla partie entière dex. On noteπ(x)le nombre de nombres premiers au plus
égaux àx.
a) Montrer quevp(n!) =kP∞=1jpnkk.
b) Montrer que2nn!divisep∈P;Qp62nplnl(n2pn).
c) Montrer que2nn!6(2n)π(2n).
d) Montrer quelnxx=O(π(x))quandx→+∞

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02654 ][correction]
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme4n+ 3.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02656 ][correction]
Soient des entiersa >1etn >0.
Montrer que sian+ 1est premier alorsnest une puissance de 2.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02657 ][correction]
Soit, pourn∈N,Fn= 22n+ 1.
a) Montrer, si(n m)∈N2avecn6=m, queFn∧Fm= 1.
b) Retrouver à l’aide du a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.

1

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02658 ][correction]
a) Pour(a n)∈Z×N?aveca∧n= 1, montrer queaϕ(n) [= 1n].
b) Pourppremier etk∈ {1     p−1}, montrer quepdivisepk!.
c) Soit(a n)∈(N?)2. On suppose quean−1 [= 1n]. On suppose que pour toutx
divisantn−1et différent den−1, on aax6 [= 1n]. Montrer quenest premier.

Exercice 11[ 03681 ][correction]
On noted(n)le nombre de diviseurs positifs den∈N?.
Déterminer un équivalent de
1nXnd(k)
k=1
représentant la moyenne du nombre de diviseurs positifs des entiers inférieurs àn.

Exercice 12[ 03725 ][correction]
[Théorème d’Aubry]
SoitNun entier strictement positif.
On suppose que le cercle d’équationx2+y2=Npossède un point rationnel
(x0 y0).
On introduit(x00 y00)un point entier obtenu par arrondi de(x0 y0).
En étudiant l’intersection du cercle avec la droite joignant(x0 y0)et(x00 y00),
montrer que le cercle contient un point entier(x1 y1).

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Raisonnons par récurrence surn>1.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn.
Par l’absurde supposons queAsoit une partie den+ 2entiers distincts tous
inférieurs ou égaux à2n+ 2. Indexons les éléments deApar ordre croissant :
A={a0     an an+1}avecai< ai+1.
Sian62nalors l’ensemble{a0     a2n}est contraire à l’hypothèse de récurrence.
Sinonan= 2n+ 1etan+1= 2n+ 2. Puisquen+ 1|an+1, nécessairement
n+ 1∈{a0     an−1}
Considérons alors{a0     an−1} ∪ {n+ 1}. C’est une partie àn+ 1éléments tous
inférieur ou égaux à2n. Par hypothèse de récurrence, l’un d’eux divise l’autre et il
en est donc de mme dans{a0     an−1 an+1}. Ceci induit une contradiction
avec l’hypothèse de départ.
Récurrence établie.

Exercice 2 :[énoncé]
En associant dansP2=P×Pchaque diviseurdavec celui qui lui est conjugué
nd, on obtient un produit deNtermes égaux àn. Ainsi

P2=nN

Exercice 3 :[énoncé]
Posonsx= 44444444, [9]4444 = 7,73= 1 [9]donc44444444= 7 [9].
x <105×4444doncA69×5×4444 = 199980,B69×5 + 1 = 46puis
C64 + 9 = 13.
OrC=B=A=x[9]doncC= 7

Exercice 4 :[énoncé]
a) Supposons√6 =pqavecp∧q= 1. On a6q2=p2doncppair,p= 2k. On
obtient alors3q2= 2k2et doncqest pair. Absurde carpetqsont premiers entre
eux.
b) Par développement selon la formule du binôme de Newton
(a+√b)n=αk+βk√bavecαk βk∈Z.

2

c)a+√bracine deP=kP=n0akXkdonnek=Pn0akαk=k=nP0akβk√b.
n n
L’irrationalité de√bentraînePakαk=Pakβk= 0ce qui permet de justifier
k=0k=0
P(a−√b) = 0.
d) PosonsQ= (X−a+√b)(X−a−√b) =X2−2aX+a2−b∈Z[X].
Par division euclidienneP=QS+TavecdegT <2. Or en posant cette division
euclidienne, on peut affirmer queS T∈Z[X]avecP Q∈Z[X]etQunitaire.
a+√b a√−bracine dePentraîneT= 0et doncP=QSavecQ S∈Z[X]. En
dérivantP0=Q0S+QS0eta+√bentraîne racine deP0donnea+√bracine de
S. On peut alors comme ci-dessus justifierS=QRavecR∈Z[X]et conclure.

Exercice 5 :[énoncé]
Sin=abaveca b∈N?alors
2n−1 = (2a−1)(1 + 2a+∙ ∙ ∙+ 2a(b−1))
donc2a−1|2n−1d’où2a−1 = 1ou2a−1 = 2n−1ce qui impliquea= 1ou
a=n.
Ainsinpossède que des diviseurs triviaux, il est premier.ne

Exercice 6 :[énoncé]
a) Pourksuffisamment grandnpk= 0somme évoquée existe donc car elle, la
ne comporte qu’un nombre fini de termes non nuls.n! = 1×2×  ×n, parmi les
entiers allant de 1 àn, il y en a exactementbnpcdivisibles parp,np2
divisibles parp2, etc. . . doncvp(n!) =k=∞P1jpnkk.
b)2nn!=((2n!n))2!. Pour toutp∈ P,vp(2(nn)!)2!=kP∞=1j2pnkk−2jpkkor
n
b2xc −2bxc= 0ou 1 donc
k∞P=1jp2knk−2jpnkk6Cardk∈N?2npk>06j2ll(nnnp)k.
De plus les nombres premiers diviseurs de2n!=2((nn!))2!sont diviseurs d’un entier
n
inférieur à2n(lemme d’Euclide) et sont donc eux-mmes inférieur à2n. Il en
|Qplnl(n2pn)car toutes les puissances de nombres premiers
découle2nn!p∈P;p62n
intervenant dans la décomposition de2nn!divisentp∈P;Qp62nplnl(n2pn).

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Corrections

)
Qplnl(n2pn6Qplnl(n2n)
c)2nn!6p∈P;p62n p∈P;p62np6p∈P;Qp62n(2n) = (2n)π(2n).
2n n
d) En passant au logarithme :Plnk−2Plnk6π(2n) ln(2n).
k=1k=1
A l’aide d’une comparaison intégrale on obtient
R1nln(t)dt6Pnlnk6R1(n+1)ln(t)dtdonc
k=1
n n
nlnn−n+ 16Plnk6(n+ 1) ln(n+ 1)−ndoncPlnk=nlnn−n+O(lnn).
k=1k=1
2n n
Par suitePlnk−2Plnk= 2nln(2n)−2n−2(nlnn−n) +O(lnn)puis
k=1k=1
2n n
Plnk−2Plnk∼ln(2)(2n).
k=1k=1
On en déduit2ln2nn=O(π(2n)).
Ajoutonslx∼2nlb2xbx22ccpar calculs etπ(x)∼π(2bx2c)carπ(x)etπ(2bx2c)ne
nx
différent qu’au plus d’une unité etπ(x)→+∞. Finalement, une certaine
satisfaction.

Exercice 7 :[énoncé]
Par l’absurde, supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de nombres premiers de
la forme4n+ 3. On peut introduire le nombreNégal au produit de ceux-ci.
Considérons alors l’entier4N−1.
4N−1est impair donc 2 ne le divise pas.
Si tous les facteurs premiers de4N−1sont égaux à 1 modulo 4 alors
4N−1≡1 [4]ce qui est absurde.
L’un au moins des facte