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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Groupe cyclique

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Groupe cyclique Exercice 6 [ 02505 ] [correction] Soit   0 1 (0) Exercice 1 [ 00123 ] [correction]  . .. . On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique. . . M = ∈M (C)n On introduit (G, ? ) un groupe cyclique de générateur a et H un sous-groupe de .. .(0) 1 (G, ? ). 1 (0) 0na) Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel que a ∈H. nb) Etablir qu’alors H est le groupe engendré par a . a) Calculer le polynôme caractéristique de M. La matrice M est-elle diagonalisable? est-elle inversible? kb) Soit G = M /k∈Z . Montrer que G est une groupe cyclique et préciser son Exercice 2 [ 00124 ] [correction] cardinal. Soit G un groupe cyclique de cardinal n. ?Montrer, que pour tout diviseur d∈N de n, G possède un et un seul sous-groupe de cardinal d. Exercice 3 [ 00125 ] [correction] Soit H et K deux groupes notés multiplicativement. a) Montrer que si h est un élément d’ordre p deH et k un élément d’ordre q deK alors (h,k) est un élément d’ordre ppcm(p,q) de H×K. b) On suppose H et K cycliques. Montrer que le groupe produit H×K est cyclique si, et seulement si, les ordres de H et K sont premiers entre eux. Exercice 4 Centrale MP [ 02365 ] [correction] Soit p un nombre premier; on pose n o kpG = z∈C;∃k∈N,z = 1p ?a) Montrer que G est un sous-groupe de (C ,×).

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Groupe cyclique

Enoncés

Exercice 1[ 00123 ][correction]
On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-mme cyclique.
On introduit(G ?)un groupe cyclique de générateuraetHun sous-groupe de
(G ?).
a) Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel quean∈H.
b) Etablir qu’alorsHest le groupe engendré paran.

Exercice 2[ 00124 ][correction]
SoitGun groupe cyclique de cardinaln.
Montrer, que pour tout diviseurd∈N?den,Gpossède un et un seul sous-groupe
de cardinald.

Exercice 3[ 00125 ][correction]
SoitHetKdeux groupes notés multiplicativement.
a) Montrer que sihest un élément d’ordrepdeHetkun élément d’ordreqdeK
alors(h k)est un élément d’ordre ppcm(p q)deH×K.
b) On supposeHetKcycliques. Montrer que le groupe produitH×Kest
cyclique si, et seulement si, les ordres deHetKsont premiers entre eux.

Exercice 4Centrale MP[ 02365 ][correction]
Soitp on pose ;un nombre premier
Gp=nz∈C;∃k∈N zpk= 1o

a) Montrer queGpest un sous-groupe de(C?×).
b) Montrer que les sous-groupes propres deGpsont cycliques et qu’aucun d’eux
n’est maximal pour l’inclusion.
c) Montrer queGpn’est pas engendré par un système fini d’éléments.

Exercice 5[ 03444 ][correction]
Soitnun entier>3.
a) Montrer que pour tout entier impaira, on a

a2n−2≡1 [2n]

b) Le groupe((Z2nZ)?×)est-il cyclique ?

Exercice 6
Soit

[ 02505 ][correction]

M=


0

(0)
1

1
.
.
.

(0)

.
.
.
.
.
.

(0)
∈ Mn(C)
10

1

a) Calculer le polynôme caractéristique deM. La matriceMest-elle
diagonalisable ? est-elle inversible ?
b) SoitG=Mkk∈Z. Montrer queGest une groupe cyclique et préciser son
cardinal.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) L’ensemble desn∈N?est une partie non vide (caraCardG=e∈H) deN, elle
possède donc un plus petit élément.
b) Posonsb=an. Puisquebappartient au sous-groupeH,< b >⊂H.
Considérons ensuitex∈H. Il existep∈Ztel quex=ap. Soitrle reste de la
division euclidienne depparn

p=nq+ravec06r < n

Commear=ap−nq=xb−q, on aar∈Het par définition den, on obtientr= 0.
Par suitex=anq=bqet doncx∈< b >. AinsiH=< b >est cyclique.

Exercice 2 :[énoncé]
Par isomorphisme, on peut supposer queG=ZnZce qui rend les choses plus
concrètes.
Soientd∈N?un diviseur denetd0son complément àn:d0=nd.
H=< d0>=0 d02d0    (d−1)d0est un sous-groupe deZnZàdéléments.
¯ ¯ ¯
Inversement, considérons un sous-groupeHàdéléments.
¯
Pour toutx¯deH, on adx¯ = 0car l’ordre d’un élément divise celui du groupe.
Par suiten|dxpuisd0|xce qui donne¯x∈0 d02d0    (d−1)d0.
¯ ¯ ¯
AinsiH⊂0 d02d0    (d−1)d0puis l’égalité par cardinalité.
¯ ¯ ¯

Exercice 3 :[énoncé]
a)(h k)n= 1H×K⇔p|netq|ndonc(h k)est un élément d’ordre ppcm(p q).
b) Posonspetqles ordres deHetK.
Supposonspetqpremiers entre eux.
Sihetksont générateurs deHetKalors(h k)est un élément d’ordre
ppcm(p q) =pqdeH×K.
Or CardH×K=pqdoncH×Kest cyclique.
Inversement, supposonsH×Kcyclique.
Si(h k)est générateur deH×Kalorshetksont respectivement générateurs de
HetK.
On en déduit quehest un élément d’ordrep,kd’ordreqet puisque(h k)est
d’ordre ppcm(p q)etpq, on conclut quepetqsont premiers entre eux.

Exercice 4 :[énoncé]
a)Gp⊂C?,1∈Gp, pourz∈Gp, il existek∈Ntel quezpk= 1et alors
(1z)pk= 1donc1z∈Gp.

Si de plusz0∈Gp, il existek0∈Nvérifiantz0pk0et alors
(z=zpkpk0k
z0)pk+k0z0pk0p= 1donc
zz0∈Gp.
b) NotonsUpk=nz∈Czpk= 1o.
SoitHun sous-groupe deGpdifférent deGp.
S’il existe une infinité dek∈NvérifiantUpk⊂HalorsH=GpcarGpest la
réunion croissante deUpk.
Ceci étant exclu, on peut introduire le plus grandk∈NvérifiantUpk⊂H.
Pour` > k, tous lesUp`Upkengendrent au moinsUpk+1, orUpk+16⊂H
doncH⊂UpkpuisH=Upk
Hest donc un sous-groupe cyclique et ne peut tre maximal pour l’inclusion car
inclus dans le sous-groupe propreUpk+1.
c) SiGppouvait tre engendré par un système fini d’éléments, il existeraitk∈N
tel que ses éléments sont tous racinespkème de l’unité et alorsGp⊂Upkce qui
est absurde.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Par la factorisationa2−b2= (a−b)(a+b)

a2n−2−1 = (a2n−3+ 1)(a2n−3−1)

et en répétant l’opération

2n−2
a−1 = (a2n−3+ 1)(a2n−4+ 1)  (a20+ 1)(a20−1)

2

Il y an−1facteurs dans ce produit et ceux-ci sont tous pairs caraest impair.
De plus, les deux derniers facteurs sonta+ 1eta−1et parmi ces deux figure un
multiple de 4.
n−2
On en déduit que2ndivisea2−1et donca2n−2≡1 [2n].
b) Par l’absurde supposons(Z2nZ)?cyclique.
¯
Les éléments de ce groupe sont leskavec2∧k= 1, ce sont donc les classes des
entiers impairs. Il y en a exactement2n−1. Si¯aest un générateur de(Z2nZ)?
alorsaest un entier impair eta¯est un élément d’ordre2n−1. Or le résultat
précéda¯2n−2¯aest inférieur à2n−2<2n−1. C’est
ent donne= 1et donc l’ordre de
absurde.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On obtientχM(X) = (−1)n(Xn−1).
Les racines deχMsont les racines de l’unité, il y en ance qui est la taille de la
matrice et doncMest diagonalisable.

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Corrections

Puisque 0 n’est pas racine deχM, la matriceMest inversible.
b) Par Cayley-Hamilton, nous savonsMn=Inet doncMest un élément d’ordre
fini du groupe(GLn(C)×). Par calcul ou par considération de polynôme
minimal, on peut affirmer quenest le plus petit exposantp >0tel queMp=In
et doncMest un élément d’ordre exactementn. On en déduit queGest un
groupe cyclique de cardinaln.

3

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