Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Petit théorème de Fermat

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Petit théorème de Fermat Exercice 1 [ 00144 ] [correction] [Petit théorème de Fermat] Soit p un nombre premier. Montrer ? p−1∀a∈(Z/pZ) ,a =1 Exercice 2 [ 03636 ] [correction] Soit n>2 un entier. On suppose n−1∀a∈{1,...

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 51
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Petit théorème de Fermat

Exercice 1 [ 00144 ] [correction] [Petit théorème de Fermat] Soitpun nombre premier. Montrer

∀a∈(ZpZ) ?  a p−1 = 1

Exercice 2 [ 03636 ] [correction] Soitn>2un entier. On suppose

∀a∈ {1     n−1} a n−1 ≡1

Montrer quenest un nombre premier

[n]

Enoncés

Exercice 3 [ 00204 ] [correction] [Nombres de Carmichael] Soitnun entier supérieur à 2. On suppose quenpour tout facteur premierpden,p 2 ne divise pasnmaisp−1 divisen−1. Etablir ∀a∈Z a n ≡a[n]

Exercice 4 [ 03686 ] [correction] On désire établir qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme4n+ 1. Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose que ceux-ci sont en nombre fini et on les numérote pour former la listep 1      p r . On pose alors N= (2p 1    p r ) 2 + 1

a) On suppose qu’il existe un facteur premierqdeNde la forme4n+ 3. Etablir (2p 1    p r ) (q−1) ≡ −1 [q]

b) Conclure en exploitant le petit théorème de Fermat.

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