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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Codimension

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Codimension Exercice 1 [ 00187 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E vérifiant F∩G ={0}.

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Langue Français

Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Codimension

Exercice 1[ 00187 ][correction]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielEvérifiant
F∩G={0}.
On suppose
codimF= dimG <+∞
Montrer queFetGsont supplémentaires.

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02677 ][correction]
SoitKun corps,Eun espace vectoriel de dimension finiensurKetLun
sous-corps deKtel queKest un espace vectoriel de dimension finiepsurL.
Montrer queEest un espace vectoriel de dimension finieqsurL. Reliern p q.

Exercice 3[ 00176 ][correction]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEtels queF⊂G.
Montrer que siFest de codimension finie alorsGaussi et codimG6codimF

Exercice 4[ 03182 ][correction]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de codimension finie d’unK-espace
vectorielE.
On suppose
F⊂Get codimF=codimG
MontrerF=G.

Enoncés

Exercice 5[ 00177 ][correction]
SoientEun espace vectoriel etF,Gdeux sous-espaces vectoriels deE.
On suppose queF⊂G. Montrer queFest de codimension finie dansEsi, et
seulement si,Fest de codimension finie dansGet queGest de codimension finie
dansE. Observer qu’alors

codimGF+codimEG=codimEF

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02678 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetGun
sous-espace vectoriel deF. On suppose queGest de codimension finie dansE.
Montrer que
codimEG=codimEF+codimFG

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoitHun supplémentaire deFdansE. On adimH= dimG.
Considéronspla projection surHparallèlement àF.
kerpG= kerp∩G=F∩G={0}doncpG:G→Hest injective et puisque
dimH= dimG <+∞,pGest un isomorphisme deGversH.
Pour toutx∈E, posonsa= (pG)−1(p(x))etb=x−a. On ax=a+b,a∈Get
p(b) =p(x)−p(a) =p(x)−p(x) = 0doncb∈kerp=F. AinsiE=G+F.

Exercice 2 :[énoncé]
Il est facile de justifier queEest unL-espace vectoriel sous réserve de bien
connaître la définition des espaces vectoriels et de souligner que qui peut le plus,
peut le moins. . .
Soit(~e1~en)une base deK-espace vectorielEet(λ1     λp)une base du
L-espace vectorielK.
Considérons la famille des(λj~ei)16i6n16j6p. Il est facile de justifier que celle-ci
est une famille libre et génératrice duL-espace vectorielE. Par suiteEest de
dimension finieq=np.

Exercice 3 :[énoncé]
SiFest de codimension finie alorsFadmet un supplémentaireHde dimension
finie.
SoitKun supplémentaire deG∩HdansH(existe carHest de dimension finie).
G∩K=G∩H∩K={0}carK⊂HetF⊂G⊂G+KetH⊂G+Kdonc
E=F+H⊂G+K.GetKsont supplémentaires, orKest de dimension finie
doncGest de codimension finie et codimG= dimK6dimH=codimFcarK
est sous-espace vectoriel deH.

Exercice 4 :[énoncé]
SoitKun supplémentaire deFdansE. Puisque

E=F⊕KetF⊂G

on a immédiatementE=G+K. Montrons que cette somme est directe.
L’intersectionG∩Kest sous-espace vectoriel deKet puisqueKest de dimension
finie, il existe un sous-espace vectorielK0vérifiant

(G∩K)⊕K0=K

On vérifie alors

Or

E=G⊕K0

dimK0=codimG=codimF= dimK

doncK=K0. Ainsi
E=G⊕K
On peut alors montrer queGest inclus dansF.
Soitx∈G. PuisqueFetKsont supplémentaires dansE, on peut écrire

x=xF+xKavecxF∈FetxK∈K

On a alors
xK=x−xF∈G∩K
carxetxFappartiennent àG.
On en déduitxK= 0puisx=xF∈F.
FinalementG⊂FpuisG=F.

2

Exercice 5 :[énoncé]
Supposons queFsoit de codimension finie dansE.Fpossède un supplémentaire
de dimension finieH. Considérons alorsKsupplémentaire deH∩GdansH.Get
Ksont supplémentaires dansEetKest de dimension finie doncGest de
codimension finie dansE. De plus,FetH∩Gétant supplémentaires dansG, on
peut dire queFest de codimension finie dansG.
Enfin la relationdimH= dimK+ dimH∩Gse relit
codimEF=codimGF+codimEG.
Inversement, siFest de codimension finie dansGetGde codimension finie dans
Ealors la somme d’un supplémentaire deFdansGet d’un supplémentaire deG
dansEun supplémentaire de dimension finie dedéfinit FdansE. On peut alors
conclure.

Exercice 6 :[énoncé]
Gpossède un supplémentaire de dimension finieH. Considérons alorsK
supplémentaire deH∩FdansH.FetKsont supplémentaires dansEetKest
de dimension finie doncFest de codimension finie dansE. De plus,GetH∩F
étant supplémentaires dansF, on peut dire queGest de codimension finie dansF.
Enfin la relationdimH= dimK+ dimH∩Gse relit
codimEG=codimEF+codimFG.

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