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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Dimension

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dimension Exercice 5 [ 00179 ] [correction] Soient E et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies et G un sous-espace vectoriel de E. On poseExercice 1 [ 00172 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel de dimension n> 1, f un endomorphisme A ={u∈L(E,F )/G⊂ keru}pnilpotent non nul de E et p le plus petit entier tel que f = 0. 2 p−1Montrer qu’il existe x∈E tel que la famille (x,f(x),f (x),...,f (x)) soit libre a) Montrer que A est un sous-espace vectoriel deL(E,F ). net en déduire que f = 0. b) Déterminer la dimension de A. Exercice 2 [ 00173 ] [correction] Exercice 6 [ 00180 ] [correction] ?Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie n∈N et f un endomorphisme Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. de E tel qu’il existe un vecteur x ∈E pour lequel la famille0 Montrer que l’ensemble des endomorphismes g de E tels que f◦g = 0 est un n−1(x ,f(x ),...,f (x )) soit une base de E. On note0 0 0 sous-espace vectoriel deL(E) de dimension dimE× dim kerf. C ={g∈L(E)/g◦f =f◦g} Exercice 7 [ 00182 ] [correction] a) Montrer queC est un sous-espace vectoriel deL(E). Soit E un espace vectoriel de dimension finie. b) Observer que 0a) Soient H et H deux hyperplans de E. Montrer que ceux-ci possèdent un n−1 supplémentaire commun.C = a Id +a f +··· +a f |a ,...,a ∈K0 1 n−1 0 n−1 b) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que dimF = dimG. c) Déterminer la dimension deC.

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Dimension

Enoncés

Exercice 1[ 00172 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn>1,fun endomorphisme
nilpotent non nul deEetple plus petit entier tel quefp= 0.
Montrer qu’il existex∈Etel que la famille(x f(x) f2(x)     fp−1(x))soit libre
et en déduire quefn= 0.

Exercice 2[ 00173 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien∈N?etfun endomorphisme
deEtel qu’il existe un vecteurx0∈Epour lequel la famille
(x0 f(x0)     fn−1(x0))soit une base deE. On note

C={g∈ L(E)g◦f=f◦g}

a) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deL(E).
b) Observer que
C=a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1|a0     an−1∈K

c) Déterminer la dimension deC.

Exercice 3[ 03801 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn >1(avecK=RouC)
Soitfun endomorphisme deEnilpotent d’ordren.
On note
C(f) ={g∈ L(E)g◦f=f◦g}

a) Montrer queC(f)est un sous-espace vectoriel deL(E).
b) Soitaun vecteur deEtel quefn−1(a)6= 0E.
Montrer que la famille(a f(a)     fn−1(a))constitue une base deE.
c) Soitϕa:C(f)→El’application définie parϕa(g) =g(a).
Montrer queϕaest un isomorphisme.
d) En déduire que
C(f) =Vect(Id f     fn−1)

Exercice 4[ 00178 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionn. Montrer que
2
(I f f      fn2)est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non
identiquement nul qui annulef.

1

Exercice 5[ 00179 ][correction]
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies etGun sous-espace
vectoriel deE. On pose

A={u∈ L(E F)G⊂keru}

a) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deL(E F).
b) Déterminer la dimension deA.

Exercice 6[ 00180 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer que l’ensemble des endomorphismesgdeEtels quef◦g= 0est un
sous-espace vectoriel deL(E)de dimensiondimE×dim kerf.

Exercice 7[ 00182 ][correction]
SoitEun espace vectoriel de dimension finie.
a) SoientHetH0deux hyperplans deE. Montrer que ceux-ci possèdent un
supplémentaire commun.
b) SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEtels quedimF= dimG.
Montrer queFetGont un supplémentaire commun.

Exercice 8[ 03409 ][correction]
Montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie
qui sont de mme dimension ont un supplémentaire commun.

Exercice 9Centrale MP[ 00181 ][correction]
SoientKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension finie,F1etF2
deux sous-espaces vectoriels deE.
a) On supposedimF1= dimF2. Montrer qu’il existeGsous-espace vectoriel deE
tel queF1⊕G=F2⊕G=E.
b) On suppose quedimF16dimF2. Montrer qu’il existeG1etG2sous-espaces
vectoriels deEtels queF1⊕G1=F2⊕G2=EetG2⊂G1.

Exercice 10[ 00184 ][correction]
Soit(e1     ep)une famille libre de vecteurs deE,F=Vect(e1     ep)etGun
supplémentaire deFdansE. Pour touta∈G, on note

Fa=Vect(e1+a     ep+a)

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a) Montrer que

b) Soienta b∈G. Montrer

Fa⊕G=E

a6=b⇒Fa6=Fb

Exercice 11X MP[ 02909 ][correction]
SoientEun espace vectoriel,F1etF2deux sous-espaces vectoriels deE.
a) Montrer que siF1etF2ont un supplémentaire commun alors ils sont
isomorphes.
b) Montrer que la réciproque est fausse.

Exercice 12[ 03771 ][correction]
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies.
SoitWun sous-espace vectoriel deE
SoitAl’ensemble des applications linéaires deEdansF
a) Montrer queAest un espace vectoriel.
b) Trouver la dimension deA.

s’annulant surW.

Exercice 13CCP MP[ 02495 ][correction]
SoitEun plan vectoriel.
a) Montrer quefnon nul est nilpotent si, et seulement si,endomorphisme
kerf=Imf.
b) En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la formef=u◦v
avecuetvnilpotents.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈kerfp−1. Il en existe carfp−16= 0.
Supposonsλ0x+λ1f(x) +∙ ∙ ∙+λp−1fp−1(x) = 0.
En composant parfp−1la relation ci-dessus, on obtientλ0fp−1(x) = 0. Il s’en
suitλ0= 0.
En composant parfp−2     f0la relation initiale, on obtient successivement
λ1= 0,...,λp−1= 0.
La famille(x f(x)     fp−1(x))est donc libre or elle est composée depvecteurs
en dimensionnon a doncp6npuisfn=fn−p◦fp= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
a)C ⊂ L(E),0∈ C.
Soientλ µ∈Ketg h∈ C. On a

f◦(λg+µh) =λ(f◦g) +µ(f◦h) =λ(g◦f) +µ(h◦f) = (λg+µh)◦f

doncλg+µh∈ C.
b) Soitg=a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1.
On ag◦f=a0f+a1f2+∙ ∙ ∙+an−1fn=f◦gdoncg∈ C.
Ainsi
a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1|a0     an−1∈K⊂ C
Inversement, soitg∈ C.
Puisque(x0 f(x0)     fn−1(x0))est une base deE, il existea0 a1     an−1∈K
tels que :g(x0) =a0x0+a1f(x0) +∙ ∙ ∙+an−1fn−1(x0). Introduisons
h=a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−fn−1.
1
g h∈ Cetg(x0) =h(x0)donc

g(f(x0)) =f(g(x0)) =f(h(x0)) =h(f(x0))

et de manière plus générale

g(fk(x0)) =fk(g(x0)) =fk(h(x0)) =h(fk(x0))

Ainsigethprennent mmes valeurs sur la base(x0 f(x0)     fn−1(x0))donc
g=h.
Ainsi
C ⊂an−1fn−1+∙ ∙ ∙+a1f+a0Id|a0     an−1∈K
puis l’égalité.
c) On aC=Vect(Id f f2     fn−1).

n−1=
De plus sia0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1f0alors en évaluant enx0

a0x0+a1f(x0) +∙ ∙ ∙+an−1fn−1(x0) = 0

3

or la famille(x0 f(x0)     fn−1(x0))est libre donca0=a1=∙ ∙ ∙=an−1= 0.
La famille(Id f f2     fn−1)est une famille libre et génératrice deC, c’est donc
une base deC.
Par suitedimC=n.

Exercice 3 :[énoncé]
˜
a)C(f)⊂ L(E),0∈ C(f).
Soientλ µ∈Ketg h∈ C(f). On a

f◦(λg+µh) =λ(f◦g) +µ(f◦h) =λ(g◦f) +µ(h◦f) = (λg+µh)◦f

doncλg+µh∈ C(f).
b) Supposons
λ0a+λ1f(a) +∙ ∙ ∙+λn−1fn−1(a) = 0E
En appliquantfn−1à cette relation, on obtientλ0fn−1(a) = 0Eet doncλ0= 0
carfn−1(a)6= 0E.
En répétant l’opération, on obtient successivement la nullité de chaqueλk.
La famille(a f(a)     fn−1(a))est alors libre puis base deEcar constituée de
n= dimEvecteurs deE.
c) L’applicationϕaest linéaire car

ϕa(λf+µg) =λf(a) +µg(a) =λϕa(f) +µϕa(g)

Siϕa(g) = 0Ealorsg(a) = 0Epuisg(f(a)) =f(g(a)) = 0E, etc. L’applicationg
est alors nulle sur une base et c’est donc l’application nulle. Ainsiϕaest injective.
Soitb∈E. Considérons l’application linéairegdéfinie par

g(a) =b,g(f(a)) =f(b),. . . ,g(f(n−1)(a)) =f(n−1)(b)

L’application linéairegest entièrement définie par l’image d’une base et l’on
vérifieg◦f=f◦gsur chaque vecteur de cette base. Ainsig∈ C(f)et l’on vérifie
ϕa(g) =b. Ainsiϕaest surjective.
d) Par l’isomorphismedimC(f) =n.
Il est immédiat de vérifier Vect(Id f     fn−1)⊂ C(f)ainsi que la liberté de la
famille(Id f     fn−1).
Par inclusion et égalité des dimensions, on conclutC(f) =Vect(Id f     fn−1).

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Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
SidimE=nalorsdimL(E) =n2donc la famille(I f f2     fn2)est liée car
formée den2+ 1élément. Une relation linéaire sur les éléments de cette famille
donne immédiatement un polynôme annulateur non nul.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Siuetvs’annulent surG, il en est de mme pourλu+µv.
b) SoitHun supplémentaire deGdansE. L’applicationϕ:u7→uHdéfinie un
isomorphisme entreAetL(H F). En effet la connaissance d’une application
linéaire sur deux espaces supplémentaires la caractérise entièrement, iciuG= 0et
doncuHdétermineu. Par suitedimA= (dimE−dimG)×dimF.

Exercice 6 :[énoncé]
PosonsF={g∈ L(E)f◦g= 0}. Soitg∈ L(E). On a clairement
g∈F⇔Img⊂kerf. Par conséquentF=L(Ekerf)d’où la dimension.

Exercice 7 :[énoncé]
a) SiH=H0alors n’importe quel supplémentaire deHest convenable et il en
existe.
Sinon, on aH6⊂H0etH06⊂Hdonc il existex∈Hetx0∈H0tels quex∈ H0et
x0∈H.
On a alorsx+x0∈ H∪H0et par suite Vect(x+x0)est supplémentaire commun à
0
HetH.
b) Raisonnons par récurrence décroissante sur
n= dimF= dimG∈ {01    dimE}.
Sin= dimEetn= dimE−1: ok
Supposons la propriété établie au rangn+ 1∈ {1    dimE}.
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de dimensionn.
SiF=Galors n’importe quel supplémentaire deFest convenable.
Sinon, on aF6⊂GetG6⊂Fdonc il existex∈Fetx0∈Gtels quex∈ Get
x0∈F.
On a alorsx+x0∈ F∪G.
PosonsF0=F⊕Vect(x+x0)etG0=G⊕Vect(x+x0).
CommedimF0= dimG0=n+ 1, par hypothèse de récurrence,F0etG0possède
un supplémentaire communHet par suiteH⊕Vect(x+x0)est supplémentaire
commun àFetG.
Récurrence établie.

Exercice 8 :[énoncé]
NotonsFetGles sous-espaces vectoriels de mme dimension d’un espace
vectorielE.
Raisonnons par récurrence décroissante sur
n= dimF= dimG∈ {01    dimE}.
Sin= dimE, l’espace nul est un supplémentaire commun.
Supposons la propriété établie au rangn+ 1∈ {1    dimE}.
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de dimensionn.
SiF=Galors n’importe quel supplémentaire deFest convenable.
Sinon, on aF6⊂GetG6⊂Fdonc il existex∈Fetx0∈Gtels quex ∈Get
x0∈ F.
On a alorsx+x0∈F∪G.
PosonsF0=F⊕Vect(x+x0)etG0=G⊕Vect(x+x0).
CommedimF0= dimG0=n+ 1, par hypothèse de récurrence,F0etG0possède
un supplémentaire communHet par suiteH⊕Vect(x+x0)est supplémentaire
commun àFetG.
Récurrence établie.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Par récurrence surp= dimE−dimF1.
SidimE−dimF1= 0alorsG={0E}convient.
Supposons la propriété établie au rangp>0.
SoientF1etF2de mme dimension tels quedimE−dimF1=p+ 1.
SiF1=F2l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en
dimension finie permet de conclure.
Sinon, on aF16⊂F2etF26⊂F1ce qui assure l’existence dex1∈F1\F2et de
x2∈F2\F1.
Le vecteurx=x1+x2n’appartient ni àF1, ni àF2. On pose alors
F10=F1⊕Vect(x)etF20=F2⊕Vect(x). On peut appliquer l’hypothèse de
récurrence àF10etF20: on obtient l’existence d’un supplémentaire communG0à
F10etF20.G=G0⊕Vect(x)est alors supplémentaire commun àF1etF2.
Récurrence établie.
b) SoitF10un sous-espace vectoriel contenantF1et de mme dimension queF2.
F10etF2possèdent un supplémentaire communG. ConsidéronsHun
supplémentaire deF1dansF10. En posantG1=H⊕GetG2=Gon conclut.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Soitx∈Fa∩G, on peut écrire
p
x=Xλi(ei+a)
i=1

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Mais alors

p p
Xλiei=x−Xλia∈F∩G={0E}
i=1i=1

doncλ1=  =λp= 0puisx= 0E.
p
Soitx∈E, on peut écrirex=u+vavecu=Pλiei∈Fetv∈G.
i=1
On a alors
p
x=Xλi(ei+a
i=1) +v−i=pX1λia!∈Fa+G

AinsiFa⊕G=E.
b) Par contraposée :
SiFa=Fbalors on peut écrire

On a alors

p
e1+a=Xλi(ei+b)
i=1

p p
Xλiei−e1=Xλib−a∈F∩G
i=1i=1

doncλ1= 1et∀26i6p λi= 0.
La relation initiale donne alorse1+a=e1+bpuisa=b.

Corrections

Exercice 11 :[énoncé]
a) Supposons queHest un supplémentaire commun àF1etF2.
Considérons la projectionpsurF1parallèlement àH. Par le théorème du rang,p
induit par restriction un isomorphisme de tout supplémentaire de noyau vers
l’image dep. On en déduit queF1etF2sont isomorphes.
b) En dimension finie, la réciproque est vraie car l’isomorphisme entraîne l’égalité
des dimensions des espaces et on peut alors montrer l’existence d’un
supplémentaire commun (voir l’exercice d’identifiant 181)
C’est en dimension infinie que nous allons construire un contre-exemple.
PosonsE=K[X]et prenonsF1=E,F2=XE. Les espacesF1etF2sont
isomorphes via l’applicationP(X)7→XP(X). Ils ne possèdent pas de
supplémentaires communs car seul{0}est supplémentaire deF1et cet espace
n’est pas supplémentaire deF2.

Exercice 12 :[énoncé]
a) Sif g∈ L(E F)s’annulent surW, il en est de mme deλf+µg. . .
b) SoitVun supplémentaire deWdansE. L’application

Φ :A→ L(V F)

qui àf∈Aassocie sa restriction au départ deVest un isomorphisme car une
application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions linéaires sur
deux espaces supplémentaires.
On en déduit

dimA= dimL(V F) = (dimE−dimW)×dimF

5

Exercice 13 :[énoncé]
a) Sikerf=Imfalorsf2= 0et doncfest nilpotent.
Sifest nilpotent alorskerf6={0}et doncdim kerf= 1ou2. Orf6= 0donc il
restedim kerf= 1.
kerf⊂kerf2doncdim kerf2= 1ou 2.
Sidim kerf2= 1alorskerf= kerf2et classiquement (cf. noyaux itérés)
kerfn= kerfpour toutn∈Nce qui contredit la nilpotence def.
Il reste doncdim kerf2= 2et doncf2= 0. Ainsifest nilpotent.
b) Sif=u◦vavecuetvnilpotents et nécessairement non nuls alors Imf⊂Imu
etkerv⊂kerf. Or ces espaces sont de dimension 1 donc Imf=Imuet
kerf= kerv. Mais Imf= kerfdonc Imu= kervpuiskeru=Imvd’oùu◦v= 0.
C’est absurde.

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