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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Dualité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dualité Exercice 6 [ 03139 ] [correction] ?Soit H un hyperplan du dual E d’unK-espace vectoriel E de dimension finie n> 2.Exercice 1 [ 03131 ] [correction] Montrer qu’il existe x∈E vérifiantSoient a ,a ,...,a ∈R deux à deux distincts. Montrer qu’il existe0 1 n n+1(λ ,...,λ )∈R unique vérifiant0 n ?∀ϕ∈E ,ϕ∈H⇔ϕ(x) = 0 Z n1 X ∀P∈R [X], P(t)dt = λ P(a )n k k 0 k=0 Exercice 7 [ 03140 ] [correction] Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n> 1. Montrer Exercice 2 [ 00210 ] [correction] ?∀x,y∈E,x =y⇒∃ϕ∈E ,ϕ(x) =ϕ(y)Soient a ,...,a ∈K deux à deux distincts et f ,...,f les formes linéaires sur0 n 0 n E =K [X] déterminées parn f (P) =P(a )i i Exercice 8 [ 00209 ] [correction]Etablir que la famille (f ,...,f ) est une base du dual de E et déterminer sa base0 n Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f, g deux formes linéairesantéduale. non nulles sur E. Montrer Exercice 3 [ 03132 ] [correction] ∃x∈E,f(x)g(x) = 0 Soient ϕ ,ϕ ,ϕ les formes linéaires surR [X] définies par1 2 3 2 Z 1 0 ϕ (P) =P(1), ϕ (P) =P (1) et ϕ (P) = P(t)dt1 2 3 Exercice 9 [ 00208 ] [correction] 0 ?Soientf,g∈E telles que kerf = kerg. Montrer qu’il existeα∈K tel quef =αg. Montrer que la famille (ϕ ,ϕ ,ϕ ) est une base du dual deR [X] et déterminer1 2 3 2 sa base antéduale. Exercice 10 [ 00206 ] [correction] Soient f ,...,f des formes linéaires sur unK-espace vectoriel E de dimension n.

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Dualité

Exercice 1[ 03131 ][correction]
Soienta0 a1     an∈Rdeux à deux distincts. Montrer qu’il existe
(λ0     λn)∈Rn+1unique vérifiant
∀P∈Rn[X]Z10P(t) dt=kXn=0λkP(ak)

Enoncés

Exercice 2[ 00210 ][correction]
Soienta0     an∈Kdeux à deux distincts etf0     fnles formes linéaires sur
E=Kn[X]déterminées par
fi(P) =P(ai)
Etablir que la famille(f0     fn)est une base du dual deEet déterminer sa base
antéduale.

Exercice 3[ 03132 ][correction]
Soientϕ1 ϕ2 ϕ3les formes linéaires surR2[X]définies par
ϕ1(P) =P(1),ϕ2(P) =P0(1)etϕ3(P) =Z10P(t) dt
Montrer que la famille(ϕ1 ϕ2 ϕ3)est une base du dual deR2[X]et déterminer
sa base antéduale.

Exercice 4[ 00211 ][correction]
SurE=Rn[X], on considère les formes linéairesf0     fndéterminées par
Z10xjP
fj(P () =x) dx
a) Montrer que la famille(f0     fn)est une base du dual deE.
b) Dans le casn= 2, déterminer la base antéduale de(f0 f1 f2).

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02685 ][correction]
Soita0 a1     andes réels non nuls deux à deux distincts. On noteFj
l’application deRn[X]dansRdéfinie par
=Z0ajP
Fj(P)
Montrer que(F0 F1     Fn)est une base de(Rn[X])?.

Exercice 6[ 03139 ][correction]
SoitHun hyperplan du dualE?d’unK-espace vectorielEde dimension finie
n>2.
Montrer qu’il existex∈Evérifiant

∀ϕ∈E? ϕ∈H⇔ϕ(x) = 0

Exercice 7[ 03140 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien>1. Montrer

∀x y∈E x6=y⇒ ∃ϕ∈E? ϕ(x)6=ϕ(y)

Exercice 8[ 00209 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf,gdeux formes linéaires
non nulles surE. Montrer

∃x∈E f(x)g(x)6= 0

1

Exercice 9[ 00208 ][correction]
Soientf g∈E?telles quekerf= kerg. Montrer qu’il existeα∈Ktel quef=αg.

Exercice 10[ 00206 ][correction]
Soientf1     fndes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde dimensionn.
On suppose qu’il existex∈Enon nul tel que

f1(x) =  =fn(x) = 0

Montrer que la famille(f1     fn)est liée.

Exercice 11[ 00205 ][correction]
SoitB= (e1     en)une famille de vecteurs d’unK-espace vectorielEde
dimensionn∈N?. On suppose que

∀f∈E? f(e1) =  =f(en) = 0⇒f= 0

Montrer queBest une base deE.

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Exercice 12[ 00207 ][correction]
Soientf1     fnetfdes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde
dimension finie.
Montrer que
n
f∈Vect(f1     fn)⇔\kerfi⊂kerf
i=1

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 03148 ][correction]
Soientϕ1     ϕpdes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde dimension
finien>2.
Montrer que la famille(ϕ1     ϕp)est libre si, et seulement si,

∀(λ1     λp)∈Kp∃x∈E∀16j6p ϕj(x) =λj

Enoncés

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02684 ][correction]
SoitEetFdes espaces vectoriels surK, de dimensions finies ou non. Montrer que
(E×F)?etE?×F?sont isomorphes.

Exercice 15CCP MP[ 03701 ][correction]
On noteEl’espace vectorielR2[X]ete= (e1 e2 e3)la base duale de la base
canonique deE. On notevetwles éléments deE?définis par
Z10P(t)dt
v(P) =P(1)etw(P) =

a) Montrer quee0= (e1 v w)est une base deE?.
b) Donner la matrice de passage deeàe0.
c) Donner la base antéduale dee0.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posonsϕk:Rn[X]→Rla forme linéaire définie par

ϕk(P) =P(ak)

Corrections

La famille(ϕ0     ϕn)est une base du dual deRn[X](on peut observer par
exemple que c’est une famille libre ou encore que c’est la base duale de la base des
polynômes interpolateurs de Lagrange en lesak).
Puisque
ϕ:P7→Z10P(t) dt
est une forme linéaire surRn[X], on peut affirmer qu’il existe(λ0     λn)∈Rn+1
unique vérifiant
ϕ=λ0ϕ0+∙ ∙ ∙+λnϕn

Exercice 2 :[énoncé]
Introduisons les polynômesL0     Lnd’interpolation de Lagrange aux points
a0     an. On sait que(L0     Ln)est une base deE. On vérifiefi(Lj) =δij
donc lesf0     fnsont les formes linéaires coordonnées dans la base(L0     Ln).
Il en découle que(f0     fn)est la base duale de(L0     Ln)et c’est donc une
base du dual deEdont(L0     Ln)est la base antéduale.

Exercice 3 :[énoncé]
SoitP=a+bX+cX2∈R2[X]. On a

ϕ1(P) =a+b+c,ϕ2(P) =b+ 2cetϕ3(P) =a+b2 +c3

Considérons alors la matrice
A=0111
1 12

définie de sorte que

avecX=t(a

b c

)etY

1
2
13

Y=AX
=tϕ1(P)ϕ2(P)



ϕ3(P)

.

La matriceAest inversible

et
A−1=

−621−22−63
−3 32 3

PuisqueAA−1=In, les colonnes deA−1déterminent des colonnesXtelles que
Y=AXest une colonne élémentaire.
On en déduit que pour
P1=−2 + 6X−3X2,P2=21−2X+32X2etP3= 3−6X+ 3X2
on a
∀k `∈ {123} ϕ(P) =δ

k ` k`
On en déduit que la famille(ϕ1 ϕ2 ϕ3)est libre et que c’est donc une base de
R2[X]dont la base antéduale est(P1 P2 P3).

3

Exercice 4 :[énoncé]
a) Supposonsλ0f0+∙ ∙ ∙+λnfn= 0.
Considérons le polynômeP(X) =λ0+λ1X+∙ ∙ ∙+λnXn∈E.
En évaluant la relationλ0f0+∙ ∙ ∙+λnfn= 0enP, on obtientR10[P(x)]2dx= 0.
Par nullité de l’intégrale sur[01]d’une fonction continue et positive, on peut
affirmerP(x) = 0pour toutx∈[01]. Le polynômePayant une infinité de
racines, il est nul et doncλ0=  =λn= 0.
La famille(f0     fn)est libre et formée den+ 1 = dimE?éléments deE?, c’est
donc une base deE?.
b) SiP(X) =a+bX+cX2alors
f0(P) =a+ 1b+13c,f1(P)1=2a1+3b1+4cetf2(P13)=a14+b+51c
2

Déterminer la base antéduale de(f0 f1 f2)revient à déterminer des polynômes
P0 P1 P2∈Evérifiantfi(Pj) =δij.
Par le calcul qui précède, ce problème est immédiatement résolu une fois inversée
la matrice
12111211334
A=13 14 15
Par calculs,
9−36 30

A−1
=

−6330−291180−180
180

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Corrections

Par suite
P0(X) = 9−36X+30X2,P1(X) =−36+192X−180X2etP2(X) = 30−180X+180X2

Exercice 5 :[énoncé]
Il est clair que lesFjsont éléments de(Rn[X])?espace de dimensionn+ 1. Pour
conclure il suffit d’observer la liberté de la famille(F0     Fn).
Supposonsλ0F0+∙ ∙ ∙+λnFn= 0. En appliquant cette égalité aux polynômes
12X    (n+ 1)Xnon obtient les équations formant le système linéaire :
λ0a0+∙ ∙ ∙+λnan= 0
∙λ∙0∙a20+∙ ∙ ∙+λnan2= 0.
λ0a0n+1+∙ ∙ ∙+λnann+1= 0
Par un déterminant de Vandermonde, ce système est de Cramer ce qui entraîne
λ0= =λn= 0.
  

Exercice 6 :[énoncé]
Soit(ϕ1     ϕn−1)une base deHque l’on complète en une base(ϕ1     ϕn)de
E?.
Soit(e1     en)la base deEantéduale de(ϕ1     ϕn).
Le vecteurx=enest alors solution car

∀ϕ∈E? ϕ=ϕ(e1)ϕ1+∙ ∙ ∙+ϕ(en−1)ϕn−1+ϕ(en)ϕn

Exercice 7 :[énoncé]
Soientx y∈Etels quex6=y.
Le vecteurx−ytre complété pour former une base deest non nul, il peut donc
E. La forme linéaire correspondant à la première application composante dans
cette base est alors solution du problème posé.

Exercice 8 :[énoncé]
Sikerf= kergalors le résultat est immédiat.
Sinon, pour des raisons de dimension,kerf6⊂kergetkerg6⊂kerf.
La somme d’un vecteur dekerfqui ne soit pas danskerget d’un vecteur dekerg
qui ne soit pas danskerfest solution.

Exercice 9 :[énoncé]
Sif= 0: ok. Sinon, on introduitu~∈kerfde sorte que Vectu~etkerfsoient
supplémentaires puis on introduitαde sorte quef(~u) =αg(u~)avant de conclure
viah=f−αgs’annule surkerfet~u.

Exercice 10 :[énoncé]
Soitϕune forme linéaire ne s’annulant pas surx. Celle-ci n’est pas combinaison
linéaire des(f1     fn).
Cette famille n’est donc pas génératrice et par suite elle est liée car formée de
n= dimE?éléments deE?.

Exercice 11 :[énoncé]
Par contraposée : siBn’est pas une base deEalors Vect(e1     en)6=E.
SoitHun hyperplan tel que Vect(e1     en)⊂Hetfune forme linéaire non
nulle de noyauH.
On af(e1) =  =f(en) = 0maisf6= 0.

Exercice 12 :[énoncé]
(⇒)clair.
n
(⇐)SupposonsTkerfi⊂kerf.
i=1
Si la famille(f1     fn)est libre alors on peut la compléter en une base
(f1     fN).
On peut écrire

f=λ1f1+∙ ∙ ∙+λnfn+λn+1fn+1+∙ ∙ ∙+λNfN

Notons(e1     eN)la base deEdont(f1     fN)est la base duale.
Puisque
n
en+1     eN∈\kerfi⊂kerf
i=1
on aλn+1=  =λN= 0doncf∈Vect(f1     fn).
Si la famille(f1     fn)est liée, quitte à intervertir, on peut supposerfn
combinaison linéaire desf1     fn−1.
On a alors
n−1
\kerfi⊂kerfn
i=1

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et donc
n n−1
\kerfi=\kerfi
i=1i=1
Cela permet de reprendre l’exercice avecf1     fn−1jusqu’à obtention d’une
famille libre.

Exercice 13 :[énoncé]
Supposons la famille(ϕ1     ϕp)libre.
On peut compléter cette famille en une base(ϕ1     ϕn)du dualE?deE.
Notons(e1     en)la base deEantéduale de(ϕ1     ϕn).
Soit(λ1     λp)∈Kp. Pour

x=λ1e1+∙ ∙ ∙+λpep∈E

on vérifie aisément
∀16j6p ϕj(x) =λj
Inversement, supposons la propriété

∀(λ1     λp)∈Kp∃x∈E∀16j6p ϕj(x) =λj

Corrections

Montrons que la famille(ϕ1     ϕp)est libre.
Supposons
˜
α1ϕ1+∙ ∙ ∙+αpϕp= 0
Par la propriété hypothèse, pour chaquej∈ {1     p}, il existex∈Evérifiant

∀i∈ {1     p} ϕi(x) =δij
˜
La relationα1ϕ1+∙ ∙ ∙+αpϕp= 0évaluée enxdonne alors

αj= 0

et on peut donc affirmer que la famille(ϕ1     ϕp)est libre.

Exercice 14 :[énoncé]
Pourf∈E?etg∈F?, posonsf⊗gl’application définie surE×Fpar
(f⊗g)(x y) =f(x) +g(y). Il est facile d’observerf⊗g∈(E×F)?. Considérons
ϕ:E?×F?→(E×F)?définie parϕ(f g) =f⊗g.
L’applicationϕest linéaire.
Siϕ(f g) = 0alors pour tout(x y)∈E×F,f(x) +g(y) = 0.
Poury= 0, on peut affirmerf= 0et pourx= 0, on affirmeg= 0. Ainsi
(f g) = (00)et doncϕest injective.
Soith∈(E×F)?. Posonsf:x7→h(x0),g:y7→h(y0). On vérifie aisément
f∈E?,g∈F?etϕ(f g) =hcarh(x y) =h(x0) +h(0 y).

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Exercice 15 :[énoncé]
a et b) PourP=a+bX+cX2,e1(P) =a,e2(P) =b,e3(P) =c,v(P) =a+b+c
etw(P) =a+21b+31c.
Par suitev=e1+e2+e3etw=e1+12e2+31e3.
La matrice de la famillee0danseest
Q=11101111023

Cette dernière est inversible donce0est une base etQest la matrice de passage
voulue.
c) Pour déterminer la base antéduale(P1 P2 P3)dee0il suffit de résoudre les
systèmes
ew1((PP110=)=)1,vwe(1((PPP22)=00=)1=)etvwe(1((PPP33)30==0)1=)
v(P1) = 0
2
Ceci est facile en raisonnant à coefficients inconnus.
Cela revient aussi à calculer l’inverse de la matricetQ.
Il est mme possible de faire un lien théorique, mais ce dernier n’est pas au
programme.

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