Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Dualité
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Dualité
Exercice 1[ 03131 ][correction]
Soienta0 a1 an∈Rdeux à deux distincts. Montrer qu’il existe
(λ0 λn)∈Rn+1unique vérifiant
∀P∈Rn[X]Z10P(t) dt=kXn=0λkP(ak)
Enoncés
Exercice 2[ 00210 ][correction]
Soienta0 an∈Kdeux à deux distincts etf0 fnles formes linéaires sur
E=Kn[X]déterminées par
fi(P) =P(ai)
Etablir que la famille(f0 fn)est une base du dual deEet déterminer sa base
antéduale.
Exercice 3[ 03132 ][correction]
Soientϕ1 ϕ2 ϕ3les formes linéaires surR2[X]définies par
ϕ1(P) =P(1),ϕ2(P) =P0(1)etϕ3(P) =Z10P(t) dt
Montrer que la famille(ϕ1 ϕ2 ϕ3)est une base du dual deR2[X]et déterminer
sa base antéduale.
Exercice 4[ 00211 ][correction]
SurE=Rn[X], on considère les formes linéairesf0 fndéterminées par
Z10xjP
fj(P () =x) dx
a) Montrer que la famille(f0 fn)est une base du dual deE.
b) Dans le casn= 2, déterminer la base antéduale de(f0 f1 f2).
Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02685 ][correction]
Soita0 a1 andes réels non nuls deux à deux distincts. On noteFj
l’application deRn[X]dansRdéfinie par
=Z0ajP
Fj(P)
Montrer que(F0 F1 Fn)est une base de(Rn[X])?.
Exercice 6[ 03139 ][correction]
SoitHun hyperplan du dualE?d’unK-espace vectorielEde dimension finie
n>2.
Montrer qu’il existex∈Evérifiant
∀ϕ∈E? ϕ∈H⇔ϕ(x) = 0
Exercice 7[ 03140 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien>1. Montrer
∀x y∈E x6=y⇒ ∃ϕ∈E? ϕ(x)6=ϕ(y)
Exercice 8[ 00209 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf,gdeux formes linéaires
non nulles surE. Montrer
∃x∈E f(x)g(x)6= 0
1
Exercice 9[ 00208 ][correction]
Soientf g∈E?telles quekerf= kerg. Montrer qu’il existeα∈Ktel quef=αg.
Exercice 10[ 00206 ][correction]
Soientf1 fndes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde dimensionn.
On suppose qu’il existex∈Enon nul tel que
f1(x) = =fn(x) = 0
Montrer que la famille(f1 fn)est liée.
Exercice 11[ 00205 ][correction]
SoitB= (e1 en)une famille de vecteurs d’unK-espace vectorielEde
dimensionn∈N?. On suppose que
∀f∈E? f(e1) = =f(en) = 0⇒f= 0
Montrer queBest une base deE.
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Exercice 12[ 00207 ][correction]
Soientf1 fnetfdes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde
dimension finie.
Montrer que
n
f∈Vect(f1 fn)⇔\kerfi⊂kerf
i=1
Exercice 13Mines-Ponts MP[ 03148 ][correction]
Soientϕ1 ϕpdes formes linéaires sur unK-espace vectorielEde dimension
finien>2.
Montrer que la famille(ϕ1 ϕp)est libre si, et seulement si,
∀(λ1 λp)∈Kp∃x∈E∀16j6p ϕj(x) =λj
Enoncés
Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02684 ][correction]
SoitEetFdes espaces vectoriels surK, de dimensions finies ou non. Montrer que
(E×F)?etE?×F?sont isomorphes.
Exercice 15CCP MP[ 03701 ][correction]
On noteEl’espace vectorielR2[X]ete= (e1 e2 e3)la base duale de la base
canonique deE. On notevetwles éléments deE?définis par
Z10P(t)dt
v(P) =P(1)etw(P) =
a) Montrer quee0= (e1 v w)est une base deE?.
b) Donner la matrice de passage deeàe0.
c) Donner la base antéduale dee0.
2
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Posonsϕk:Rn[X]→Rla forme linéaire définie par
ϕk(P) =P(ak)
Corrections
La famille(ϕ0 ϕn)est une base du dual deRn[X](on peut observer par
exemple que c’est une famille libre ou encore que c’est la base duale de la base des
polynômes interpolateurs de Lagrange en lesak).
Puisque
ϕ:P7→Z10P(t) dt
est une forme linéaire surRn[X], on peut affirmer qu’il existe(λ0 λn)∈Rn+1
unique vérifiant
ϕ=λ0ϕ0+∙ ∙ ∙+λnϕn
Exercice 2 :[énoncé]
Introduisons les polynômesL0 Lnd’interpolation de Lagrange aux points
a0 an. On sait que(L0 Ln)est une base deE. On vérifiefi(Lj) =δij
donc lesf0 fnsont les formes linéaires coordonnées dans la base(L0 Ln).
Il en découle que(f0 fn)est la base duale de(L0 Ln)et c’est donc une
base du dual deEdont(L0 Ln)est la base antéduale.
Exercice 3 :[énoncé]
SoitP=a+bX+cX2∈R2[X]. On a
ϕ1(P) =a+b+c,ϕ2(P) =b+ 2cetϕ3(P) =a+b2 +c3
Considérons alors la matrice
A=0111
1 12
définie de sorte que
avecX=t(a
b c
)etY
1
2
13
Y=AX
=tϕ1(P)ϕ2(P)
ϕ3(P)
.
La matriceAest inversible
et
A−1=
−621−22−63
−3 32 3
PuisqueAA−1=In, les colonnes deA−1déterminent des colonnesXtelles que
Y=AXest une colonne élémentaire.
On en déduit que pour
P1=−2 + 6X−3X2,P2=21−2X+32X2etP3= 3−6X+ 3X2
on a
∀k `∈ {123} ϕ(P) =δ
k ` k`
On en déduit que la famille(ϕ1 ϕ2 ϕ3)est libre et que c’est donc une base de
R2[X]dont la base antéduale est(P1 P2 P3).
3
Exercice 4 :[énoncé]
a) Supposonsλ0f0+∙ ∙ ∙+λnfn= 0.
Considérons le polynômeP(X) =λ0+λ1X+∙ ∙ ∙+λnXn∈E.
En évaluant la relationλ0f0+∙ ∙ ∙+λnfn= 0enP, on obtientR10[P(x)]2dx= 0.
Par nullité de l’intégrale sur[01]d’une fonction continue et positive, on peut
affirmerP(x) = 0pour toutx∈[01]. Le polynômePayant une infinité de
racines, il est nul et doncλ0= =λn= 0.
La famille(f0 fn)est libre et formée den+ 1 = dimE?éléments deE?, c’est
donc une base deE?.
b) SiP(X) =a+bX+cX2alors
f0(P) =a+ 1b+13c,f1(P)1=2a1+3b1+4cetf2(P13)=a14+b+51c
2
Déterminer la base antéduale de(f0 f1 f2)revient à déterminer des polynômes
P0 P1 P2∈Evérifiantfi(Pj) =δij.
Par le calcul qui précède, ce problème est immédiatement résolu une fois inversée
la matrice
12111211334
A=13 14 15
Par calculs,
9−36 30
A−1
=
−6330−291180−180
180
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Corrections
Par suite
P0(X) = 9−36X+30X2,P1(X) =−36+192X−180X2etP2(X) = 30−180X+180X2
Exercice 5 :[énoncé]
Il est
