Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Somme directe de sous-espaces vectoriels

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Somme directe de sous-espaces vectoriels Exercice 5 [ 00223 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie vérifiant 2Exercice 1 [ 00212 ] [correction] rg(f ) = rgf 3Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E vérifiant f = Id. a) EtablirMontrer 2 2Imf = Imf et kerf = kerf ker(f−Id)⊕Im(f−Id) =E b) Montrer kerf⊕Imf =E Exercice 2 [ 00214 ] [correction] Exercice 6 [ 00224 ] [correction]Soient f,g∈L(E) tels que Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E). g◦f◦g =f et f◦g◦f =g On suppose Imf +Img = kerf +kerg =E a) Montrer que kerf = kerg et Imf = Img. Montrer que ces sommes sont directes. On pose F = kerf = kerg et G = Imf = Img Exercice 7 [ 00190 ] [correction] 0 0b) Montrer que Soient F,G,F ,G des sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E vérifiant E =F⊕G 0 0 0F⊕G =F ⊕G =E et F ⊂G Montrer 0 0F⊕F ⊕(G∩G ) =E Exercice 3 [ 00213 ] [correction] Soient f,g∈L(E) tels que Exercice 8 [ 00216 ] [correction] ? pf◦g◦f =f et g◦f◦g =g Soient u∈L(E) (avec dimE 1)jG le supplémentaire de (G ⊕···⊕G )∩F dans F .i 1 i−1 i i pPLes G existent, ce sont des sous-espaces vectoriels, G ⊂F et G ⊕···⊕G . −1i i i 1 n Pour x∈f ( F ), on peut écrire f(x) =y +···+y avec y ∈F . Orj 1 p j jnP j=1 Soit x∈E. On peut écrire x = x avec x ∈F .i i i −1F ⊂ Imf donc il existe x ∈E vérifiant f(x ) =y . Evidemment x ∈f (F ).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 122
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Exercice 1[ 00212 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEvérifiantf3=Id.
Montrer
ker(f−Id)⊕Im(f−Id) =E

Exercice 2[ 00214 ][correction]
Soientf g∈ L(E)tels que

g◦f◦g=fetf◦g◦f=g

a) Montrer quekerf= kerget Imf=Img.
On pose
F= kerf= kergetG=Imf=Img

b) Montrer que

Exercice 3[ 00213 ][correction]
Soientf g∈ L(E)tels que

E=F⊕G

f◦g◦f=fetg◦f◦g=g

Montrer quekerfet Imgsont supplémentaires dansE.

Exercice 4[ 00215 ][correction]
Soientf g∈ L(E)tels que

a) Montrer que

b) Justifier que

g◦f◦g=getf◦g◦f=f

Imf⊕kerg=E

f(Img) =Imf

Enoncés

Exercice 5[ 00223 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie vérifiant
rg(f2) =rgf

a) Etablir

b) Montrer

Imf2=Imfetkerf2= kerf

kerf⊕Imf=E

Exercice 6[ 00224 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf g∈ L(E).

On suppose
Imf+Img= kerf+ kerg=E
Montrer que ces sommes sont directes.

Exercice 7[ 00190 ][correction]
SoientF G F0 G0des sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielEvérifiant
F⊕G=F0⊕G0=EetF0⊂G

Montrer

F⊕F0⊕(G∩G0) =E

1

Exercice 8[ 00216 ][correction]
Soientu∈ L(E)(avecdimE <+∞) nilpotent etp∈N?tel queup= 0.
a) Etablir que pour toutk∈ {1     p}, il existe un sous-espace vectorielFkdeE
tel que
keruk= keruk−1⊕Fk
b) Etablir queE=F1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fp.
c) Observer que la matrice deudans une base adaptée à la somme directe
ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls.

Exercice 9[ 00217 ][correction]
Soientn∈NetE=Rn[X].
Pour touti∈[0 n], on note

Fi={P∈E∀j∈[0 n]\ {i} P(j) = 0}
Montrer que lesFisont des sous-espaces vectoriels et que

E=F0⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fn

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Exercice 10[ 00218 ][correction]
Soientf1     fndes endomorphismes d’unK-espace vectorielEvérifiant

f1+∙ ∙ ∙+fn=Id et∀16i6=j6n fi◦fj= 0

a) Montrer que chaquefiest une projection vectorielle.
n
b) Montrer quei=⊕1Imfi=E.

Enoncés

Exercice 11[ 00219 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie etp1     pmdes projecteurs de
Edont la somme vaut IdE. On noteF1     Fmles images dep1     pm. Montrer
m
queE=k⊕Fk(indice : on rappelle que le rang d’un projecteur égale sa trace).
=1

Exercice 12[ 00220 ][correction]
Pourd∈N, notonsHdl’ensemble formé des fonctions polynomiales deR2versR
homogènes de degrédi.e. pouvant s’écrire comme combinaison linéaire de
fonction monôme de degréd.
Montrer que(Hd)06d6nest une famille de sous-espaces vectoriels en somme
directe.

Exercice 13[ 00221 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etF1     Fndes sous-espaces
vectoriels deE.
On suppose queE=F1+∙ ∙ ∙+Fn.
Montrer qu’il existeG1     Gnsous-espaces vectoriels tels que :

∀16i6n Gi⊂FietE=G1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Gn

Exercice 14[ 00222 ][correction]
SoientE1     EnetF1     Fnsous-espaces vectoriels deEtel queEi⊂Fiet

Montrer queEi=Fi.

n n
⊕Ei=⊕Fi
i=1i=1

2

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02680 ][correction]
SoitEetFdesK-espaces vectoriels. On se donnef∈ L(E F), une famille
(Ei)16i6nde sous-espaces vectoriels deEet une famille(Fj)16j6pde sous-espaces
vectoriels deF.
a) Montrer
n n
f(XEi) =Xf(Ei)
i=1i=1
b) Montrer que sifest injective et si la somme desEiest directe alors la somme
desf(Ei)est directe.
c) Montrer
p p
f−1(XFj)⊃Xf−1(Fj)
j=1j=1
Montrer que cette inclusion peut tre stricte. Donner une condition suffisante
pour qu’il y ait égalité.

Exercice 16[ 03241 ][correction]
SoientE F GtroisK-espaces vectoriels etu∈ L(E F),v∈ L(F G)etw=v◦u.
Montrer quewest un isomorphisme si, et seulement si,uest injective,vest
surjective et
Imu⊕kerv=F

Exercice 17[ 03459 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finiennon nulle etf∈ L(E)
vérifiantf2=−IdE.
a) Soita∈Enon nul. Montrer que la famille(a f(a))est libre.
On poseF(a) =Vect(a f(a)).
b) Montrer qu’il existe des vecteurs deE a1     apnon nuls tels que
E=F(a1)⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕F(ap)
c) En déduire que la dimension deEest paire et justifier l’existence d’une base de
Edans laquelle la matrice defest simple.

Exercice 18[ 03638 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finien∈N?etδune application à
valeurs réelles définie sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels deE. On suppose
∀F F0sous-espaces vectoriels deE,F∩F0={0E} ⇒δ(F+F0) =δ(F) +δ(F0)

Déterminerδ.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈ker(f−Id)∩Im(f−Id).
On af(x) =xet on peut écrirex= (f−Id)(a) =f(a)−a.
f(x) =f2(a)−f(a),f2(x) =f3(a)−f2(a) =a−f2(a)puisx+f(x) +f2(x) = 0.
Orx+f(x) +f2(x) = 3xdoncx= 0.
Soitx∈E.
Analyse : Supposonsx=u+vavecu∈ker(f−Id)etv∈Im(f−Id).
On peut écrirev=f(a)−a.
Ainsix=u+f(a)−a f(x) =u+f2(a)−f(a) f2(x) =u+a−f2(a).
Doncu=31(x+f(x) +f2(x)).
−
Synthèse : Posonsu=13(x+f(x) +f2(x))etv=x u.
On af(u) =ucarf3(x) =xet

donc

v=23x−13f(x)−13f2(x1=3)x−13f(x)−13f2(x)+13f3(x)

v= (f−Id)−13x+13f2(x)∈Im(f−Id)

Finalementker(f−Id)⊕Im(f−Id) =E.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Six∈kerfalorsg(x) = (f◦g◦f)(x) = 0doncx∈kerg. Par symétrie

kerf= kerg

Siy∈Imfalors il existea∈Etel quey=f(a) = (g◦f◦g)(a)doncy∈Img. Par
symétrie
Imf=Img

b) Soitx∈F∩G. Il existea∈Etel quex=g(a)or

f(a) = (g◦f◦g)(a) = (g◦f)(x) =g(0) = 0

Ainsia∈kerf= kergd’oùx=g(a) = 0.
Soitx∈E.
Analyse :
Supposonsx=u+vavecu∈F= kerfetv=g(a)∈G=Img.
On a
f(x) = (f◦g)(a)

donc

(g◦f)(x) =f(a)

Synthèse :
Puisque(g◦f)(x)∈Img=Imf, il existea∈Etel que
(g◦f)(x) =f(a)

Posons alorsv=g(a)etu=x−v. On a immédiatementv∈Imgetx=u+v.
On a aussiu∈kerfcar

et

Ainsi

puis

f(u) =f(x)−f(v)∈Imf

g(f(u)) = (g◦f)(x)−(g◦f◦g)(a) = (g◦f)(x)−f(a) = 0

f(u)∈kerg∩Imf

f(u) = 0

Exercice 3 :[énoncé]
Soitx∈kerf∩Img. On peut écrirex=g(a)aveca∈E.
On a alors
f(g(a)) = 0

puis

x=g(a) = (g◦f◦g)(a) =g(0) = 0

Soitx∈E. On peut écrirex=a+bavec

a=x−g(f(x))etb=g(f(x))

On vérifie immédiatementb∈Imget on obtienta∈kerfpar

f(a) =f(x)−f(g(f(x)) = 0

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soitx∈Imf∩kerg.
Il existea∈Etel quex=f(a)donc

x=f(a) = (f◦g◦f)(a) = (f◦g)(x) = 0

3

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Corrections

Soitx∈E.
Analyse :
Supposonsx=u+vavecu=f(a)∈Imfetv∈kerg.
g(x) =g◦f(a)donc(f◦g)(x) =f(a) =u.
Synthèse :
Posonsu= (f◦g)(x)etv=x−u.
On au∈Imf,x=u+vetg(v) =g(x)−g(u) = 0i.e.v∈kerg.
b) On af(Img)⊂Imfet∀y∈Imfon peut écrirey=f(x)avecx=g(a) +uet