Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Automorphismes orthogonaux
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Automorphismes orthogonaux Exercice 7 [ 03075 ] [correction] Soient E un espace euclidien et f une application de E vers E vérifiant Exercice 1 [ 00342 ] [correction] f(0) = 0 et∀x,y∈E, kf(x)−f(y)k =kx−yk Soit f∈O(E) diagonalisable. Montrer que f est une symétrie. a) Montrer que ∀x∈E, kf(x)k =kxk Exercice 2 [ 00343 ] [correction] b) EtablirSoient F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E et f∈O(E). ∀x∈E,f(−x) =−f(x)Montrer ⊥ ⊥f(F ) =f(F ) c) Etablir que ∀x,y∈E, (f(x)|f(y)) = (x|y) d) SoitB = (e ,...,e ) une base orthonormée de E. Justifier que1 nExercice 3 [ 00344 ] [correction] Soient f un automorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidien E et nX F = ker(f−Id). ∀x∈E,f(x) = (e |x)f(e )k k ⊥ ⊥Montrer que f(F ) =F . k=1 e) En déduire que f est un automorphisme orthogonal de E. Exercice 4 [ 00345 ] [correction] Soient f∈O(E) et V un sous-espace vectoriel de E. Exercice 8 [ 00348 ] [correction]Montrer que : Soient a un vecteur d’un espace euclidien orienté E de dimension 3 et ⊥ V est stable pour f si, et seulement si, V l’est f ,r ∈L(E) définis para a f (x) =a∧x et r = exp(f )a a a Exercice 5 [ 03082 ] [correction] Montrer que r est une rotation et en donner les éléments caractéristiques.

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Automorphismes orthogonaux

Exercice 1[ 00342 ][correction]
Soitf∈ O(E)diagonalisable. Montrer quefest une symétrie.

Enoncés

Exercice 2[ 00343 ][correction]
SoientFun sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidienEetf∈ O(E).
Montrer
f(F⊥) =f(F)⊥

Exercice 3[ 00344 ][correction]
Soientfun automorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidienEet
F= ker(f−Id).
Montrer quef(F⊥) =F⊥.

Exercice 4[ 00345 ][correction]
Soientf∈ O(E)etVun sous-espace vectoriel deE.
Montrer que :

Vest stable pourfsi, et seulement si,V⊥l’est

Exercice 5[ 03082 ][correction]
SoientEun espace euclidien etf:E→Eune application linéaire vérifiant

∀x y∈E(x|y) = 0⇒(f(x)|f(y)) = 0

a) Calculer(u+v|u−v)pouru vvecteurs unitaires.
b) Etablir qu’il existeα∈R+vérifiant

∀x∈Ekf(x)k=αkxk

c) Conclure qu’il existeg∈ O(E)vérifiantf=αg

Exercice 6[ 00346 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien etf:E→Eune application telle que

∀x y∈E(f(x)|f(y)) = (x|y)

En observant que l’image parfd’une base orthonormée est une base orthonormée
montrer quefest linéaire.

Exercice 7[ 03075 ][correction]
SoientEun espace euclidien etfune application deEversEvérifiant

a) Montrer que

b) Etablir

c) Etablir que

f(0) = 0et∀x y∈E,kf(x)−f(y)k=kx−yk

∀x∈E,kf(x)k=kxk

∀x∈E f(−x) =−f(x)

∀x y∈E,(f(x)|f(y)) = (x|y)

d) SoitB= (e1     en)une base orthonormée deE. Justifier que
n
∀x∈E f(x) =X(ek|x)f(ek)
k=1

e) En déduire quefest un automorphisme orthogonal deE.

Exercice 8[ 00348 ][correction]
Soientaun vecteur d’un espace euclidien orientéEde dimension 3 et
fa ra∈ L(E)définis par

fa(x) =a∧xetra= exp(fa)

Montrer queraest une rotation et en donner les éléments caractéristiques.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02730 ][correction]
SoitEun espace euclidien. Quels sont les endomorphismes deEtels que pour
tout sous-espace vectorielVdeE

f(V⊥)⊂(f(V))⊥?

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02731 ][correction]
Soitn∈N?. On noteMl’espace vectoriel réelMn(R). On pose
ϕ: (A B)∈ M27→trtAB

a) Montrer queϕest un produit scalaire.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante surΩ∈ Mpour queM7→ΩM
soitϕ-orthogonale.

1

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Enoncés

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02740 ][correction]
Dans un espace euclidienE, soitf∈ L(E). Montrer que deux des trois propriétés
suivantes entraînent la troisième :
(i)f ;est une isométrie
(ii)f2=−Id ;
(iii)f(x)est orthogonal àxpour toutx.

Exercice 12X MP[ 03076 ][correction]
Soit(Ehi)un espace euclidien.
Pourϕ∈ O(E), on noteM(ϕ) =Im(ϕ−IdE)etF(ϕ) = ker(ϕ−IdE).
.
Siu∈E\ {0},sudésigne la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplanu⊥
a) Soitϕ∈ O(E). Montrer queM(ϕ)⊕⊥F(ϕ) =E.
b) Si(u1     uk)est libre, montrer :

M(su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk) =Vect(u1     uk)

c) On suppose(u1     uk)libre. Soientv1     vk∈E\ {0}tels que

su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk=sv1◦ ∙ ∙ ∙ ◦svk

Montrer que(v1     vk)est libre.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02748 ][correction]
On note(|)le produit scalaire canonique deRn. Pour toute famille
u= (u1     up)∈(Rn)pon pose

Mu= ((ui|uj))16ij6p

a) Montrer que(u1    up)est libre si, et seulement si,Muest inversible.
b) On suppose qu’il existeu= (u1     up)etv= (v1     vp)telles queMu=Mv.
Montrer qu’il existef∈ O(Rn)telle quef(ui) =f(vi)pour touti.

Exercice 14[ 03487 ][correction]
Déterminer les applicationsu∈ O(E)vérifiant

u−Id)2˜
( = 0

Exercice 15CCP MP[ 02554 ][correction]
Soituun automorphisme orthogonal deEeuclidien etv=u−Id.

a) Montrer quekerv= (Imv).
b) Soit
n−1
un=n1Xuk
k=0
Montrer que(un(x))converge, pour tout vecteurx, vers le projeté orthogonal de
xsurkerv.

Exercice 16CCP PC[ 03379 ][correction]
Soituun automorphisme orthogonal d’un espace euclidienEde dimensionn.
a) On posev=u−Id. Montrer

kerv= (Imv)⊥

b) Soitx∈E. Justifier l’existence de(x1 y)∈kerv×Etel que
x=x1+v(y)

Montrer
1N−11
NXuk(x) =x1+N(uN(y)−y)
k=0
c) On notepla projection orthogonale surkerv. Montrer

N
∀x∈ENl→im+∞p(x)−N1kX=−10uk(x)= 0

Exercice 17Centrale PC[ 03743 ][correction]
p qsont deux entiers strictement positifs.A Bdeux matrices deMpq(R)telles
quetAA=tBB.
a) ComparerkerAetkerB.
b) Soitf(respectivementg) l’application linéaire deRqdansRpde matriceA
(respectivementB) dans les bases canoniques deRqetRp. On munitRpde sa
structure euclidienne canonique. Montrer que
∀x∈Rqhf(x) f(y)i=hg(x) g(y)i
c) Soient(ε1     εr)et(ε01     ε0r)deux bases d’un espace euclidienFde
dimensionrvérifiant
∀(i j)∈ {1     r}2hεi εji=ε0i ε0j

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Montrer qu’il existe une application orthogonalesdeF

∀i∈ {1     r} s(εi) =εi0

telle que

d) Montrer qu’il existeU∈ Op(R)tel queA=U B.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 18Centrale MP[ 03741 ][correction]
SoitEun espace euclidien ; on noteO(E)le groupe des endomorphismes
orthogonaux deEet on définit l’ensemble

Γ ={u∈ L(E)∀x∈Eku(x)k6kxk}

a) Montrer queΓest une partie convexe deL(E)qui contientO(E).
b) Soitu∈Γtel qu’il existe(f g)∈Γ2vérifiant

f6=getu(=12f+g)

Montrer queu∈O(E).
c) Soitvun automorphisme deE; montrer qu’il existeρ∈ O(E)etsun
endomorphisme autoadjoint positif deEtels quev=ρ◦s.
On admet que ce résultat reste valable si on ne suppose plusvbijectif.
d) Soitu∈Γqui n’est pas un endomorphisme orthogonal.
Montrer qu’il existe(f g)∈Γ2tels que

f6=getu(21=f+g)

e) Démontrer le résultat admis à la question c).
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Enoncés

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitλvaleur propre def. Pourxvecteur propre, on af(x) =λxavec
kf(x)k=kxkd’oùλ=±1. Une diagonalisation defest alors réalisée avec des 1
et des−1sur la diagonale, c’est une symétrie.

Exercice 2 :[énoncé]
fétant un automorphisme,dimf(F) = dimFetdimf(F⊥) = dimF⊥. Par suite

dimf(F⊥) = dimf(F)⊥

Soientx∈f(F⊥)ety∈f(F). On peut écrirex=f(a)ety=f(b)aveca∈F⊥
etb∈F. On a
(x|y) = (f(a)|f(b)) = (a|b) = 0
doncf(F⊥)⊂f(F)⊥puis l’égalité par les dimensions.

Exercice 3 :[énoncé]
Soity∈f(F⊥). Il existex∈F⊥tel quey=f(x). On a alors∀z∈F,
(y|z) = (f(x)|f(z)) = (x|z) = 0.
Par suitef(F⊥)⊂F⊥.
De plusfconserve les dimensions car c’est un automorphisme donc il y a égalité.

Exercice 4 :[énoncé]
(⇒) SiVest stable pourfalorsf(V)⊂Vet puisquefest un automorphisme
f(V) =V.
∀x∈V⊥∀y∈V(f(x)|y) = (x|f−1(y)) = 0carf−1(y)∈Vdoncf(x)∈V⊥
puisV⊥stable parf.
(⇐) SiV⊥stable parfalorsV=V⊥⊥aussi

Exercice 5 :[énoncé]
a)(u+v|u−v) =kuk2− kvk2= 0pouruetvunitaires.
b) Soientuetvdes vecteurs unitaires deE.
u+vetu−vsont orthogonaux doncf(u+v)etf(u−v)le sont aussi.
Or par linéarité

f(u+v) =f(u) +f(v)etf(u−v) =f(u)−f(v)

de sorte que l’orthogonalité de ces deux vecteurs entraîne

kf(u)k=kf(v)k

4

Ainsi les vecteurs unitaires deEsont envoyés parfsur des vecteurs ayant tous la
mme normeα∈R+.
Montrons qu’alors
∀x∈Ekf(x)k=αkxk

Soitx∈E.
Six= 0alors on af(x) = 0puiskf(x)k=αkxk.
Six6= 0alors en introduisant le vecteur unitaireu=xkxk, on akf(u)k=αpuis
kf(x)k=αkxk
˜
c) Siα= 0alorsf= 0et n’importe quelg∈ O(E)convient.
Siα6= 0alors introduisons l’endomorphisme

1f
g=
α

La relation obtenue en b) assure quegconserve la norme et doncg∈ O(E)ce qui
permet de conclure.

Exercice 6 :[énoncé]
ftransforme une base orthonorméeB= (e1     en)en une base orthonormée
,
B0= (e01     e0n). Pour toutx∈E

d’où la linéarité def.

n n
f(x) =X(f(x)|ei0)e0=X(x|ei)e0i
i
i=1i=1

Exercice 7 :[énoncé]
a) Poury= 0, la relationkf(x)−f(y)k=kx−ykdonnekf(x)k=kxksachant
y= 0.
b) Par l’identité du parallélogramme
kf(x) +f(−x)k2+kf(x)−f(−x)k2= 2kf(x)k2+kf(−x)k2

aveckf(x)k=kxk,kf(−x)k=k−xk=kxket
kf(x)−f(−x)k=kx−(−x)k= 2kxkdonc

kf(x) +f(−x)k2= 0

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puisf(−x)f(x).
=−
c) Par polarisation
(f(x)|f(y))=14kf(x) +f(y)k2+kf(x)−f(y)k2

Corrections

Orkf(x)−f(y)k=kx−yket
kf(x) +f(y)k=kf(x)−f(−y)k=kx−(−y)k=kx+yk
donc
(f(x)|f(y4))1=kx+yk2+kx−yk2= (x|y)
d) Par conservation du produit scalaire, on peut affirmer que la famille
(f(e1)     f(en))est une base orthonormée deE. Par suite, pour toutx∈E,

n n
f(x) =X(f(ek)|f(x))f(ek) =X(ek|x)f(ek)
k=1k=1

e) L’expression ci-dessus assure la linéarité defet puisqu’on sait déjà quef
conserve le produit scalaire, on peut affirmer quefest un automorphisme
orthogonal.

Exercice 8 :[énoncé]
Sia= 0,ra=Id.
Sia6= 0alors dans une base orthonormée directe de premier vecteurakak, la
matrice defaest
A=000k00− k0ak
ak0

Par calcul, la matrice deradans cette base est alors
R=icn0so100skkaak−kcos0sinkkaakk

L’endomorphismeradonc une rotation d’axe dirigé et orienté parest aet d’angle
kak.

Exercice 9 :[énoncé]
Un tel endomorphisme conserve l’orthogonalité. Pour toutx yvérifiant
kxk=kyk, on ax+yetx−yorthogonaux doncf(x) +f(y)etf(x)−f(y)aussi.

Par suitekf(x)k=kf(y)k. Ainsi un tel endomorphisme transforme une base
orthonormée(e1     en)en une famille orthogonale aux vecteurs isométriques.
Par suitef=λgavecg∈ O(E).
La réciproque est immédiate.

Exercice 10 :[énoncé]
a) On reconnaît le produit scalaire canonique surMn(R).
b) Posonsf:M7→ΩM.(f(M)|f(N)) =tr(tMtΩΩN).
festϕ-orthogonale si, et seulement si, pour toutM N∈ M,
(M|tΩΩN) = (M|N)i.e. pour toutN∈ M,tΩΩN=Ni.e.tΩΩ =In.
Ainsifestϕ-orthogonale si, et seulement si,Ωl’est.

Exercice 11 :[énoncé]
On observe que (i) équivaut àf?=f−1et (ii) équivaut àf−1=−f.
Observons que (iii) équivaut àf?=−f.
Supposons (iii), pour toutx y∈E,(f(x+y)|x+y) = 0donne
(f(x)|y) =−(x|f(y))doncf?=−f. La réciproque est immédiate.
Ainsi les propriétés (i), (ii) et (iii) retraduites, il est immédiat de conclure.

Exercice 12 :[énoncé]
a) Soienty∈M(ϕ)etx∈F(ϕ).
ϕ(x) =xet il existea∈Etel quey=ϕ(a)−a.
On a alors
hx yi=hx ϕ(a)i − hx ai=hϕ(x) ϕ(a)i − hx ai= 0

carϕ∈ O(E).
AinsiM(ϕ)etF(ϕ)sont orthogonaux et par la formule du rang

donne

dimM(ϕ) + dimF(ϕ) = dimE

M(ϕ)⊕⊥F(ϕ) =E

b) Par récurrence surk>1.
Pourk= 1: la propriété est immédiate.
Supposons la propriété vraie au rangk>1.
Soient(u1     uk+1)une famille libre etϕ=su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk+1∈ O(E). Etudions
F(ϕ).
Soitx∈F(ϕ). La relationϕ(x) =xdonne

su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk(x) =suk+1(x)

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puis
su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk(x)−x=suk+1(x)−x
Orsuk+1(x)−x∈Vect(uk+1)et par hypothèse de récurrence
su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk(x)−x∈Vect(u1     uk).
Puisque la famille(u1     uk+1)est libre, on obtient

su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk(x)−x=suk+1(x)−x= 0

Ainsixest point fixe desu1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suket desuket donc

x∈Vect(u1     uk)⊥∩Vect(uk+1)⊥=Vect(u1     uk+1)⊥

Par suite
F(ϕ)⊂Vect(u1     uk+1)⊥
L’autre inclusion étant immédiate, on obtient

puis

F(ϕ) =Vect(u1     uk+1)⊥

M(ϕ) =Vect(u1     uk+1)

Récurrence établie.
c) Posons
ϕ=su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk=sv1◦ ∙ ∙ ∙ ◦svk
Par l’étude qui précède
F(ϕ) =Vect(u1     uk)⊥

De façon immédiate
Vect(v1     vk)⊥⊂F(ϕ)
En passant à l’orthogonal

Vect(u1     uk)⊂Vect(v1     vk)

Puisque la famille(u1     uk)supposé libre, un argument de dimensionest
permet d’affirmer que la famille(v1     vk)l’est aussi.

Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
a) NotonsC1     Cples colonnes deMu.
Si(u1     up)est liée alors il existeλ1     λpnon tous nuls vérifiant
λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup= 0. On a alors(λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup|ui) = 0pour toutiet donc
λ1C1+∙ ∙ ∙+λpCp= 0. AinsiMun’est pas inversible.

6

Inversement, supposonsMunon inversible. alors il existeλ1     λpnon tous nuls
vérifiantλ1C1+∙ ∙ ∙+λpCp= 0et donc(λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup|ui) = 0pour touti.
Ainsiλ1u1+∙ ∙ ∙+λpup∈Vect(u1     up)⊥, or
λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup∈Vect(u1     up)doncλ1u1+∙ ∙ ∙+λpup= 0et la famille
(u1     up)est liée.
b) Posonsr=rg(u1     up)et quitte à permuter les vecteurs, supposons que lesr
premiers vecteurs de la familleusont indépendants.
Par l’étude qui précède, on peut affirmer que lesrpremiers vecteurs de la famille
valors indépendants et que les autres en sont combinaisons linéaires.sont
Considérons alors l’application linéaireh:Vect(u1     ur)→Vect(v1     vr)
déterminée par
∀16k6r h(uk) =vk
Pour toutx=λ1u1+∙ ∙ ∙+λrur, on ah(x) =λ1v1+∙ ∙ ∙+λrvr.
Or
r r
kxk2=Xλiλj(ui|uj)etkh(x)k2=Xλiλj(vi|vj)
ij=1ij=1
donckxk2=kh(x)k2car(ui|uj) = (vi|vj).
Pour toutk∈ {r+ 1     p},ukest combinaison linéaire desu1     urce qui
permet d’écrire
uk=λ1u1+∙ ∙ ∙+λrur
On a alors pour touti∈ {1     r},

(uk−(λ1u1+∙ ∙ ∙+λrur)|ui) = 0

et donc
(vk−(λ1v1+∙ ∙ ∙+λrvr)|vi) = 0
On en déduitvk=λ1v1+∙ ∙ ∙+λpvrpuisvk=h(uk).
Enfin, on prolongehen un automorphisme orthogonal solution défini surRnen
introduisant une application linéaire transformant une base orthonormée de
Vect(u1     ur)⊥en une base orthonormée de Vect(v1     vr)⊥

Exercice 14 :[énoncé]
Siuest solution alors

Im(u−Id)⊂ker(u−Id)

Or
Im(u−Id) = [ker(u−Id)?]⊥=ker(u−1−Id)⊥
et puisqueuest bijectif

ker(u−1−Id) = ker(u◦(u−1−Id)) = ker(u−Id)

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donc au final

Ceci entraîne

ker(u−Id)⊥⊂ker(u−Id)

ker(u−Id) ={0}

puisu=Id.
La réciproque est bien entendu immédiate.

Exercice 15 :[énoncé]
a) Soientx∈kervety=v(a)∈Imv. On au(x) =xety=u(a)−adonc

(x|y) = (u(x)|u(a))−(x|a) = 0

Corrections

caruconserve le produit scalaire. Ainsikerv⊂(Imv)⊥puis l’égalité par égalité
des dimensions.
b) Pourx∈E, on peut écrirex=a+baveca∈kervetb∈(kerv)⊥=Imv.
On au(a) =aet doncuk(a) =apour toutk∈N. D’autre part, il existectel que
b=v(c) =u(c)−cde sorte queuk(b) =uk+1(c)−uk(c). Par télescopage,

un(x) =a+ 1n un(c)−1n c

Puisqueuconserve la norme :

et donc

1un(c) = 1kck →0
nn

un(x)→a

Exercice 16 :[énoncé]
a) Soitx∈kervety=v(a)∈Imv. On au(x) =xety=u(a)−adonc

(x|y) = (u(x)|u(a))−(x|a) = 0

Caruconserve le produit scalaire.
On en déduitkerv⊂(Imv)⊥puis l’égalité par un argument de dimension.
b) Par ce qui précède, on peut affirmer

E= kerv⊕⊥Imv

et cette supplémentarité assure l’existence dex1ety.

Pour toutk∈N, on a

uk(x1) =x1etuk(v(y)) =uk+1(y)−uk(y)

En sommant et après télescopage, on obtient


N1NX1uk(x) =x1N1(uN(y)−y)
+
k=0

c) Avec les notations qui précèdentp(x) =x1. Ainsi

−1
p(x)−N1NXuk(x) =uN(y)−y)+kyk
k=0N6uN(Ny=N2kyk →0

7

Exercice 17 :[énoncé]
a) SoitX∈kerA. On atBBX=tAAX= 0donctXtBBX= 0. Or
tXtBBX=kBXk2et doncX∈kerB.AinsikerA⊂kerBet mmekerA= kerB
par une démarche symétrique.
b) En notantX Yles colonnes des coordonnées deXetY

et

hf(x) f(y)i=t(AX)AY=tXtAAY

hg(x) g(y)i=t(BX)BY=tXtBBY

d’où la conclusion.
c) Considèrons l’application linéaires∈ L(F)déterminée par

0
∀i∈ {1     r} s(εi) =εi

Il s’agit de montrer quesest orthogonale, par exemple en observant ques
conserve la norme.
Soitx∈F. On peut écrire

On a alors

r r
x=Xxiεiets(x) =Xxiεi0
i=1i=1

r r
ks(x)k2=Xxixjεi0 ε0j=Xxixjhεi εji=kxk2
ij=1ij=1

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Corrections

d) SoitHun sous-espace vectoriel supplémentaire dekerA= kerBdansRq.
Introduisons(x1     xr)une base deHet posons(ε1     εr)et(ε01     ε0r)les
familles données par
εi=f(xi)etεi0=g(xi)
En vertu du b), on peut affirmer
∀(i j)∈ {1     r}2hεi εji=ε0i ε0j
Introduisons(εr+1     εp)une base orthonormée de l’orthogonal de l’image def
et(ε0r+1     ε0p)une base orthonormée de l’orthogonal de l’image deg. On vérifie
alors
2
∀(i j)∈ {1     p}hεi εji=εi0 ε0j
On peut alors introduire une application orthogonales:Rp→Rpvérifiant

∀i∈ {1     r} s(εi) =ε0i

On a alors l’égalité d’application linéaire

u◦f=g

car celle-ci vaut sur lesxidonc surHet vaut aussi évidement surkerf= kerg.
En introduisantUmatrice des−1dans la base canonique deRp, on obtient

A=U SavecU∈ Op(R)

Exercice 18 :[énoncé]
a) Soientu v∈Γetλ∈[01]. Pour toutx∈E,

k(λu+ (1−λ)v(x)k6λku(x)k+ (1−λ)kv(x)k6kxk

doncλu+ (1−λ)v∈Γ.
Pouru∈ O(E), on a

∀x∈Eku(x)k=kxk6kxk

et doncu∈Γ.
b) Puisquef6=g, il existe un vecteurxvérifiantf(x)6=g(x).
Sikf(x)k<kxkoukg(x)k<kxkalors

ku(x)k12=kf(x) +g(x)k6kf(x)k2+kg(x)k<kxk

et doncu ∈ O(E).

Sikf(x)k=kxketkg(x)k=kxkalors la conditionf(x)6=g(x)entraîne

kf(x) +g(x)k<kf(x)k+kg(x)k

8

car il y a égalité dans l’inégalité triangulaire euclidienne si, et seulement si, les
vecteurs sont positivement liés.
On en déduit que dans ce cas aussiku(x)k<kxket doncu∈O(E).
c) L’endomorphismef=v?◦vest autoadjoint défini positif. Moyennant une
diagonalisation en base orthonormée, on peut déterminersautoadjoint défini
positif tel quef=s2. Posons alorsρ=v◦s−1ce qui est possible carsinversible
puisque défini positif. On a alors


ρ?◦ρ=s1◦v?◦v◦s−1=IdE

et doncρ∈ O(E). Finalementv=ρ◦sest l’écriture voulue.
d) Soitu∈Γ\O(E). On peut écrireu=ρ◦savecρ∈ O(E)etsendomorphisme
autoadjoint positif. Puisque

∀x∈Eku(x)k=ks(x)k

on as∈Γet donc les valeurs propres dessont éléments de[01]. Dans une base
orthonormée de diagonalisation, la matrice desest de la forme
(λ01)...(λ0n)avecλ1     λn∈[01]

Si lesλisont tous égaux à 1 alorss=IdEetu=ρ∈ O(E)ce qui est exclu. Il y a
donc au moins unλidifférent de 1. Considérons alors l’endomorphismetdont la
matrice dans la base orthonormée précédente est
2λ1−1 (0)
(0)...2λn−1

On peut écrire
1
s (= 2IdE+t)
avec IdE∈Γ, IdE6=tett∈Γcar les coefficients diagonaux précédents sont
inférieurs à 1 en valeur absolue.
On en déduit
u12(=ρ+ρ◦t)

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avecρ ρ◦t∈Γetρ6=ρ◦t.
e) Soitv∈ L(E). Pourk >0assez petit

1
vk=v+kIdE∈GL(E)

carvne possède qu’un nombre fini de valeurs propres.
On peut alors écrire

vk=ρk◦sk

avecρk∈ O(E)etsk

∈ S+(E)

PuisqueO(E)est compact, il existe une suite extraite(ρϕ(k))qui converge
ρ∞∈ O(E). On a alors

sϕ(k)=ρϕ−1(k)◦vϕ(k)→ρ∞−1◦v

En posants∞=ρ−∞1◦v, on as∞∈ S+(E)carS+(E)est fermé et donc
v=ρ∞◦s∞donne l’écriture voulue.

Corrections

9

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