Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Endomorphismes normaux

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Endomorphismes normaux Exercice 1 [ 03661 ] [correction] ? ?Soit u un endomorphisme d’un espace euclidien E.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Endomorphismes

normaux

Enoncés

Exercice 1[ 03661 ][correction]
Soituun endomorphisme d’un espace euclidienE. On supposeu?◦u=u◦u?.
a) Montrer que les endomorphismesuetu?ont les mmes sous-espaces propres.
b) Montrer que les sous-espaces propres deusont deux à deux orthogonaux.

Exercice 2[ 03662 ][correction]
Soituun endomorphisme d’un espace euclidienE. On supposeudiagonalisable et
u?◦u=u◦u?. Montrer queuest autoadjoint.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Soientλ∈RetF=Eλ(u) = ker(u−λIdE).
Puisqueuetu?commutent, l’espaceFest stable paru?.
Considérons alors les endomorphismesvetwrestrictions deuetu?à l’espaceF.
Puisque
∀x y∈E(u(x)|y) = (x|u?(y))
on a
∀x y∈F(v(x)|y) = (x|w(y))
et doncw=v?. Orv=λIdFdoncw?= (λIdF)?=λIdF.
AinsiEλ(u)⊂Eλ(u?)et un raisonnement symétrique assure l’égalité.
b) Soientλ µ∈Rdeux valeurs propres distinctes deu.
Soientx∈Eλ(u)ety∈Eµ(u) =Eµ(u?).
D’une part
(u(x)|y) =λ(x|y)
D’autre part
(u(x)|y) = (x|u?(y)) =µ(x|y)

Puisqueλ6=µ, on obtient(x|y) = 0.

Exercice 2 :[énoncé]
Soientλ∈RetF=Eλ(u) = ker(u−λIdE).
Puisqueuetu?commutent, l’espaceFest stable paru?.
Considérons alors les endomorphismesvetwrestrictions deuetu?à l’espaceF.
Puisque
∀x y∈E(u(x)|y) = (x|u?(y))
on a
∀x y∈F(v(x)|y) = (x|w(y))

et doncw=v?. Orv=λIdFdoncw?= (λIdF)?=λIdF.
AinsiEλ(u)⊂Eλ(u?)et un raisonnement symétrique assure l’égalité.
Les endomorphismesuetu?sont donc égaux sur chaque sous-espaces propres de
u.
Oruest diagonalisable donc

E

=⊕E
λ∈Spu λ(u)

et par égalité deux applications linéaires sur les espaces d’une décomposition en
somme directe, on peut conclureu=u?.

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