Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Adjoint d'un endomorphisme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Adjoint d’un endomorphisme Exercice 7 [ 00186 ] [correction] ?Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien E et u l’adjoint de u. MontrerExercice 1 [ 00349 ] [correction] ? ⊥ ? ⊥ ? keru = Imu et Imu = keruMontrer que detf = detf. Exercice 8 [ 00355 ] [correction] 2Exercice 2 [ 00350 ] [correction] Soient E un espace vectoriel euclidien et u∈L(E) vérifiant u = 0. Quels sont les automorphismes orthogonaux autoadjoints d’un espace vectoriel Etablir ? ?euclidien E? ker(u+u ) = keru∩keru Exercice 9 [ 00356 ] [correction]Exercice 3 [ 00351 ] [correction] Soit u∈L(E) avec E espace vectoriel euclidien.SoientB = (e ) etC = (f ) deux bases orthonormées d’un espacei 16i6n j 16j6n a) Montrereuclidien E. ? ⊥ ? ⊥keru = (Imu) et Imu = (keru)Soit u∈L(E). On pose n n 2XX b) On suppose u = 0. Etablir2 A = (f |u(e ))i j ?u+u inversible ⇔ Imu = kerui=1 j=1 a) Montrer que A ne dépend pas des bases choisies. b) Exprimer A en fonction de u seul. Exercice 10 CCP MP [ 02420 ] [correction] Soient E unR-espace vectoriel euclidien et u dansL(E). ⊥ ⊥? ?a) Montrer que keru = (Imu) et Imu = (keru) . 2Exercice 4 [ 00352 ] [correction] b) On suppose u = 0. Soit u∈L(E). Montrer Montrer ? ?ker(u+u ) = keru∩keru ? ?rg(u ◦u) = rg(u) = rg(u◦u ) En déduire ?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 146
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Adjoint d’un endomorphisme

Exercice 1[ 00349 ][correction]
Montrer quedetf?= detf.

Exercice 2[ 00350 ][correction]
Quels sont les automorphismes orthogonaux autoadjoints d’un espace vectoriel
euclidienE?

Exercice 3[ 00351 ][correction]
SoientB= (ei)16i6netC= (fj)16j6ndeux bases orthonormées d’un espace
euclidienE.
Soitu∈ L(E). On pose
n n
A=X X(fi|u(ej))2
i=1j=1
a) Montrer queAne dépend pas des bases choisies.
b) ExprimerAen fonction deuseul.

Exercice 4[ 00352 ][correction]
Soitu∈ L(E). Montrer

rg(u?◦u) =rg(u) =rg(u◦u?)

Exercice 5[ 00353 ][correction]
Pouru∈ L(E), comparer d’une part les espaces

et d’autre part les espaces

keruetker(u?◦u)

Imuet Im(u◦u?)

Exercice 6[ 00354 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Etablir
rg(tAA) =rgA

Enoncés

Exercice 7[ 00186 ][correction]
Soituun endomorphisme d’un espace vectoriel euclidienEetu?l’adjoint deu.
Montrer
keru?=Imu⊥et Imu?= keru⊥

Exercice 8[ 00355 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien etu∈ L(E)vérifiantu2= 0.
Etablir
ker(u+u?) = keru∩keru?

Exercice 9[ 00356 ][correction]
Soitu∈ L(E)avecEespace vectoriel euclidien.
a) Montrer
keru?= (Imu)⊥et Imu?= (keru)⊥
b) On supposeu2= 0. Etablir
u+u?inversible⇔Imu= keru

Exercice 10CCP MP[ 02420 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel euclidien etudansL(E).
a) Montrer quekeru?= (Imu)⊥et Imu?= (keru)⊥.
b) On supposeu2= 0.
Montrer
ker(u+u?) = keru∩keru?
En déduire
u+u?inversible⇔keru=Imu

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02739 ][correction]
SoitEun espace euclidien etu∈ L(E)tel queu◦u= 0. Montrer
Imu= keru⇔u+u?∈GL(E)

Exercice 12[ 00357 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 etu∈Enon nul.
On considère l’applicationf:x7→u∧x.
a) Montrer quefest un endomorphisme deE.
En déterminer image et noyau.
?
b) Déterminerf.
c) Montrer quef2est diagonalisable dans une base orthonormée.

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Exercice 13[ 00358 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien etf∈ L(E).
On suppose que pour toutx∈E,kf(x)k6kxk.
Montrer quekf?(x)k6kxk.

Exercice 14[ 00359 ][correction]
SoientEun espace euclidien etf∈ L(E)vérifiant

∀x∈Ekf(x)k6kxk

a) Montrer que sif(x) =xalorsf?(x) =x.
b)E= ker(f−Id)⊕Im(f−Id).

Enoncés

Exercice 15Centrale MP[ 02397 ][correction]
SoitEun espace euclidien orienté de dimension 3 etuun endomorphisme deE.
a) Réduire l’expression

ϕ(x y z) = [u(x) y z] + [x u(y) z] + [x y u(z)]

b) Montrer qu’il existev∈ L(E)tel que pour tout(x y)∈E2,

v(x∧y) =u(x)∧y−u(y)∧x

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02738 ][correction]
SoitEun espace euclidien de normekk,udansL(E)etkkL(E)la norme sur
L(E)subordonnée àkk.
?
a) ComparerkukL(E)etkukL(E).
b) SikukL(E)61, comparerker(u−Id)etker(u?−Id).
c) SikukL(E)61, montrerE= ker(u−Id)⊕Im(u−Id).
Exercice 17[ 03149 ][correction]
Soituun endomorphisme d’un espace euclidienE. Exprimerker(u?◦u)et
Im(u?◦u)en fonction dekeru.
Exercice 18[ 03516 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace euclidienEnon réduit à0E.
a) On suppose que les endomorphismesfetgcommutent et qu’ils sont nilpotents.

Montrer qu’il existe un vecteurxdeEnon nul vérifiant

f(x) =g(x) = 0E

b) On suppose que les endomorphismesfetgcommutent et qu’ils possèdent un
vecteur propre en commun.
Montrer que les endomorphismes adjointsf?etg?possèdent aussi un vecteur
propre en commun.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoitBune base orthonormée. MatBf?=tMatBf.

Exercice 2 :[énoncé]
Ce sont les symétries orthogonales.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a)A=Pnku(ej)k2ne dépend par deCetA=nPku?(fi)k2ne dépend pas deB.
j=1i=1
b) En prenantC=B,
n n
A=X X(ei|u(ej)) (ej|u?(ei))
i=1j=1

NotonsM= (mij)la matrice deudans la base orthonorméeB. Puisque
mij= (ei|u(ej))etmji= (ei|u?(ej)),

n n
A=X Xmijmji
i=1j=1

n
OrPmijmjiest le coefficient d’indice(i i)de la matriceM2représentative de
j=1
u2doncA=tr(u2).

Exercice 4 :[énoncé]
On saitkeru⊂ker(u?◦u)et six∈ker(u?◦u)alorsu?(u(x)) = 0donc
(u?(u(x))|x) = 0puisku(x)k2= 0doncx∈keru. Ainsikeru= keru?◦upuis
rg(u) =rg(u?◦u). Enfin

rg(u) =rg(u?) =rg(u??◦u?) =rg(u◦u?)

Exercice 5 :[énoncé]
On saitkeru⊂ker(u?◦u)et six∈ker(u?◦u)alorsu?(u(x)) = 0donc
(u?(u(x))|x) = 0puisku(x)k2= 0doncx∈keru. Ainsi

keru= keru?◦u

Il en découle

rg(u) =rg(u?◦u)

puis
rg(u) =rg(u?) =rg(u??◦u?) =rg(u◦u?)
Or Im(u◦u?)⊂Imudonc
Im(u◦u?) =Imu

Exercice 6 :[énoncé]
SiX∈kerAalorsX∈kertAA.
Inversement, siX∈kertAAalorstAAX= 0donctXtAAX=t(AX)AX= 0
d’oùAX= 0puisX∈kerA.
Ainsi
ker(tAA) = kerA

puis par la formule du rang

rg(tAA) =rgA

Exercice 7 :[énoncé]
a) Soitx∈keru?. Pour touty∈Imu, on peut écrirey=u(a)et
(x|y) = (u?(x)|a) = (0|a) = 0donckeru?⊂Imu⊥.
Soitx∈Imu⊥,∀a∈E,(u?(x)|a) = (x|u(a)) = 0doncu?(x) = 0d’où
Imu⊥⊂keru?.
Puisqueu??=uon a aussi Imu?⊥= kerud’où Imu?= keru⊥.

Exercice 8 :[énoncé]
Evidemment
ker(u+u?)⊃keru∩keru?
Inversement, soitx∈ker(u+u?). On au(x) +u?(x) = 0doncu(u?(x)) = 0et
u?(x)∈keruoru?(x)∈Imu?= (keru)⊥doncu?(x) = 0puis aussiu(x) = 0et
doncx∈keru∩keru?
.
On peut conclure quant à l’égalité demandée.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Soitx∈keru?. Pour touty∈Imu, on peut écrirey=u(a)et

(x|y) = (u?(x)|a) = (0|a) = 0

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donckeru?⊂(Imu)⊥
.
Soitx∈(Imu)⊥,
∀a∈E,(u?(x)|a) = (x|u(a)) = 0
doncu?(x) = 0d’où(Imu)⊥⊂keru?.
Puisqueu??=uon a aussi(Imu?)⊥= kerud’où Imu?= (keru)⊥.
b) On suppose Imu⊂keru.
(⇒) Supposonsu+u?inversible.
Soitx∈keru∩Imu⊥. On au(x) +u?(x) = 0doncx= 0. Par suite
keru∩Imu⊥={0}.
Doncdim keru+ dimImu⊥6dimEpuisdim keru6dimImu. Par suite
Imu= keru.
(⇐) Supposons Imu= keru.
Soitx∈ker(u+u?).u(x) +u?(x) = 0.
Oru(x)∈Imuetu?(x)∈Imu?= (keru)⊥= (Imu)⊥doncu(x) =u?(x) = 0.
Par suitex∈keruetx∈keru?= (Imu)⊥= (keru)⊥doncx= 0.
Par suiteu+u?est injectif donc bijectif.

Corrections

Exercice 10 :[énoncé]
a) Soitx∈keru?. Pour touty∈Imu, on peut écrirey=u(a)et
(x|y) = (u?(x)|a) = (0|a) = 0donckeru?⊂Imu⊥.
Soitx∈Imu⊥,∀a∈E,(u?(x)|a) = (x|u(a)) = 0doncu?(x) = 0d’où
Imu⊥⊂keru?.
Puisqueu??=uon a aussi Imu?⊥= kerud’où Imu?= keru⊥.
b) On a évidemmentkeru∩keru?⊂ker(u+u?).
Inversement, soitx∈ker(u+u?). On au(x) =−u?(x)∈Imu∩Imu?.
Or Imu?(keru)⊥et, puisqueu2= 0, Imu⊂keru. Par suite Imu?⊂(Imu)⊥et
=
doncu(x) =−u?(x)∈Imu∩(Imu)⊥. On en déduitu(x) =u?(x) = 0.
Finalementker(u+u?)⊂keru∩keru?puis l’égalité.
Reste à établir l’équivalence.
(⇒) Supposonsu+u?inversible.
On a{0}= ker(u+u?) = keru∩keru?= keru∩(Imu)⊥.
Par suitedim keru+ dim(Imu)⊥6dimEpuisdim keru6dimImu.
Or Imu⊂keruet doncdimImu6dim keru. AinsidimImu= dim keruet
puisque Imu⊂keru, on peut conclure Imu= keru.
(⇐) Supposons Imu= keru.
ker(u+u?) = keru∩keru?=Imu∩(Imu)⊥={0}doncu+u?est injectif puis
bijectif.

Exercice 11 :[énoncé]
(⇐) Supposonsu+u?inversible.

Soitx∈keru