Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices orthogonales
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Matrices orthogonales
Exercice 1[ 00339 ][correction]
Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures ?
Exercice 2[ 00340 ][correction]
SoitTune matrice réelle carrée d’ordrenantisymétrique.
Etablir que la matriceexp(T)est orthogonale.
Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02742 ][correction]
SoitAune matrice antisymétrique deMn(R).
Que peut-on dire deexpA?
Exercice 4[ 02562 ][correction]
SoitΩ∈ Mn(R)une matrice orthogonale.
Soitλune valeur propre complexe deΩetX∈ Mn1(C)vérifiant
En calculant de deux façons
établir queλest de module 1.
ΩX=λX
t¯ΩX¯ΩX
Enoncés
Exercice 5[ 00341 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)inversible. En interprétantAcomme la matrice de passage entre
une base orthonormée d’un espace euclidien et une autre base de cet espace et en
orthonormalisant cette dernière, établir qu’il existe deux matricesQ∈ On(R)et
R∈Tn+(R)telles queA=QR.
Exercice 6Centrale MP[ 02403 ][correction]
a) Trouver les matrices deOn(R)diagonalisables surR.
b) Montrer qu’une matrice deOn(R)est diagonalisable surC.
Exercice 7Centrale MP[ 02404 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6n∈ On(R).
a) Montrer
X|aij|6n√n
16ij6n
b) Montrer
Xai j6n
16ij6n
c) Peut-on avoir simultanément :
X|aij|=n√netXaij=n?
16ij6n16ij6n
Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02743 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6nune matrice réelle orthogonale. Montrer que
Xaij6n
16ij6n
Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02744 ][correction]
SoitA∈ On(R). On suppose que 1 n’est pas valeur propre deA.
a) Etudier la convergence de
p(1+1In+A+∙ ∙ ∙+Ap)
lorsquep→+∞.
b) La suite(Ap)p∈N ?est-elle convergente
Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02745 ][correction]
Soient(a b c)∈R3,σ=ab+bc+ca,S=a+b+cet
a b c
M=caabbc
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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a) Montrer :
M∈ O3(R)⇔σ= 0etS∈ {−11}
b) Montrer :
M∈SO3(R)⇔σ= 0etS= 1
c) Montrer queMest dans SO3(R)si, et seulement si, il existek∈[0427]tel
quea betcsont les racines du polynômeX3−X2+k.
Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02746 ][correction]
SoitJla matrice deMn(R)dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Quelles sont lesAdeOn(R)telles queJ+Asoit inversible ?
Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02747 ][correction]
Soit
M=BADC∈ On(R)
oùA∈ Mp(R)etD∈ Mn−p(R).
Montrer que
(detA)2= (detD)2
Enoncés
Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02749 ][correction]
[Transformation de Cayley]
a) SiAest une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres
complexes deA?
b) Soit
1
ϕ:A∈ An(R)7→(In−A)(In+A)−
Montrer queϕréalise une bijection deAn(R)sur
{Ω∈ On(R)−1∈Sp(Ω)}
Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02926 ][correction]
Soientp q rdes réels et
p
A=prqqprrq
Montrer queAune matrice de rotation si, et seulement si,est p q rsont les trois
racines d’un polynôme de la formeX3−X2+aoùaest à préciser. Indiquer les
éléments de la rotation.
Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02927 ][correction]
On considère des réelsa b c. On pose
A=aabca2−+cbabbcb+2−acbccac2−+ab
a)Aquelle conditionAest-elle orthogonale ?
b) Cette condition étant réalisée, reconnaître l’endomorphisme deR3de matrice
canoniqueA.
Exercice 16[ 03141 ][correction]
Déterminer les matrices deOn(R)dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.
Exercice 17[ 03171 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)une matrice inversible vérifiant
AtA=tAA
Montrer que la matriceΩ =tA−1Aest orthogonale.
2
Exercice 18[ 03343 ][correction]
SoitA∈ On(R).
a) Montrer que siλest une valeur propre complexe deAalors|λ|= 1.
b) Soitλune valeur propre complexe non réelle deAetZ∈ Mn1(C)un vecteur
propre associé.
On poseX=Re(Z)etY=Im(Z). Montrer que Vect(X Y)est stable parA.
c) Montrer que les colonnesXetYont alors mme norme et sont orthogonales.
Quelle est la nature de l’endomorphisme induit par la matriceAsur l’espace
Vect(X Y)?
Exercice 19Mines-Ponts MP[ 03751 ][correction]
SoitA∈GLn(R)telle quetA=A2.
a) Montrer queA3=Inet queAest orthogonale.
b) Soitfl’endomorphisme canoniquement associé à la matriceA.
Montrer que le noyau def2+f+Id est de dimension paire et en déduire la forme
de la matrice defdans une base bien choisie.
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Enoncés
Exercice 20Centrale MP[ 03610 ][correction]
Soitn∈N?. SiM∈ Mn(R), on dira queMa la propriété(P)si, et seulement si,
il existe une matriceU∈ Mn+1(R)telle queMsoit la sous-matrice deUobtenue
en supprimant les dernières ligne et colonne deUet queUsoit une matrice
orthogonale, soit encore si, et seulement si, il existeα1 α2n+1∈Rtels que
α2n+1
a) Ici
U=
α1
M
∙ ∙ ∙
αn
λ1
M=
.
αn+2∈ On+1(R)
αn+1
.
.
.
(0)
(0)λn
est une matrice diagonale. Déterminer une condition nécessaire et suffisante
portant sur lesλipour queMait la propriété(P).
b) IciM∈ Sn(R). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM
ait la propriété(P).
c) SiM∈GLn(R), montrer qu’il existeU∈ On(R)etS∈ Sn(R)telles que
M=U S.
On admettra qu’une telle décomposition existe encore siMn’est pas inversible.
d) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM∈ Mn(R)
quelconque ait la propriété(P).
Cette condition portera surtM M.
e) Montrer le résultat admis dans la question c).
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou−1. Le résultat
s’obtient en étendant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant
qu’elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.
Exercice 2 :[énoncé]
Par continuité de l’application linéaire de transposition, on justifie
Par suite
OrTet−T
texp(T) = exp(tT)
texp(T) exp(T) = exp(−T) exp(T)
commutent donc
et on conclut.
exp(−T) exp(T) = exp(−T+T) =In
Exercice 3 :[énoncé]
Par continuité de la transposition
On a alors
t(expA) = exp(tA)
t(expA) expA= exp(−A) exp(A) = exp(−A+A) = exp(On) =In
carAet−Acommutent.
AinsiexpAest une matrice orthogonale.
Exercice 4 :[énoncé]
D’une part
t¯ΩX¯ΩX=tX¯tΩΩX=tX¯X
et d’autre part
tΩ¯X¯ΩX=t(¯λX¯)λX=|λ|2tXX
¯
¯
PuisquetXXréel non nul, on en déduitest un |λ|= 1.
4
Exercice 5 :[énoncé]
On munitRnde sa structure euclidienne canonique, on noteBsa base canonique
etB0la famille d’éléments deRndéterminée parA=MatBB0. La familleB0est
libre, on peut donc l’orthonormaliser par le procédé de Schmidt en une familleB00.
Par changement de base,A=MatBB00×MatB00B0avec MatBB00∈ On(R)car
BB00orthonormées et MatB00B0∈Tn+(R)carB00obtenue par le procédé de
Schmidt.
Exercice 6 :[énoncé]
a) Les valeurs propres d’une matriceUdeOn(R)diagonalisable ne pouvant tre
que 1 et−1, celle-ci vérifieU2=In. Les
