Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices orthogonales

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Matrices orthogonales Exercice 7 Centrale MP [ 02404 ] [correction] Soit A = (a ) ∈O (R).i,j 16i,j6n n a) MontrerExercice 1 [ 00339 ] [correction] X √ |a |6n ni,jQuelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures? 16i,j6n b) Montrer Exercice 2 [ 00340 ] [correction] X a 6nSoit T une matrice réelle carrée d’ordre n antisymétrique. i,j 16i,j6nEtablir que la matrice exp(T ) est orthogonale. c) Peut-on avoir simultanément : Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02742 ] [correction] X X √ |a | =n n et a =n?i,j i,jSoit A une matrice antisymétrique deM (R). n 16i,j6n 16i,j6nQue peut-on dire de expA? Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02743 ] [correction] Exercice 4 [ 02562 ] [correction] Soit A = (a ) une matrice réelle orthogonale. Montrer quei,j 16i,j6nSoit Ω∈M (R) une matrice orthogonale.n Soit λ une valeur propre complexe de Ω et X∈M (C) vérifiantn,1 X a 6ni,j ΩX =λX 16i,j6n En calculant de deux façons t ¯ ¯ΩX ΩX Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02744 ] [correction] établir que λ est de module 1. Soit A∈O (R). On suppose que 1 n’est pas valeur propre de A.n a) Etudier la convergence de 1 p(I +A +··· +A )Exercice 5 [ 00341 ] [correction] n p + 1 Soit A∈M (R) inversible. En interprétant A comme la matrice de passage entren une base orthonormée d’un espace euclidien et une autre base de cet espace et en lorsque p→ +∞.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 98
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Matrices orthogonales

Exercice 1[ 00339 ][correction]
Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures ?

Exercice 2[ 00340 ][correction]
SoitTune matrice réelle carrée d’ordrenantisymétrique.
Etablir que la matriceexp(T)est orthogonale.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02742 ][correction]
SoitAune matrice antisymétrique deMn(R).
Que peut-on dire deexpA?

Exercice 4[ 02562 ][correction]
SoitΩ∈ Mn(R)une matrice orthogonale.
Soitλune valeur propre complexe deΩetX∈ Mn1(C)vérifiant

En calculant de deux façons

établir queλest de module 1.

ΩX=λX

t¯ΩX¯ΩX

Enoncés

Exercice 5[ 00341 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)inversible. En interprétantAcomme la matrice de passage entre
une base orthonormée d’un espace euclidien et une autre base de cet espace et en
orthonormalisant cette dernière, établir qu’il existe deux matricesQ∈ On(R)et
R∈Tn+(R)telles queA=QR.

Exercice 6Centrale MP[ 02403 ][correction]
a) Trouver les matrices deOn(R)diagonalisables surR.
b) Montrer qu’une matrice deOn(R)est diagonalisable surC.

Exercice 7Centrale MP[ 02404 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6n∈ On(R).
a) Montrer
X|aij|6n√n
16ij6n

b) Montrer
Xai j6n

16ij6n
c) Peut-on avoir simultanément :

X|aij|=n√netXaij=n?
16ij6n16ij6n

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02743 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6nune matrice réelle orthogonale. Montrer que

Xaij6n
16ij6n

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02744 ][correction]
SoitA∈ On(R). On suppose que 1 n’est pas valeur propre deA.
a) Etudier la convergence de

p(1+1In+A+∙ ∙ ∙+Ap)

lorsquep→+∞.
b) La suite(Ap)p∈N ?est-elle convergente

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02745 ][correction]
Soient(a b c)∈R3,σ=ab+bc+ca,S=a+b+cet
a b c
M=caabbc

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a) Montrer :

M∈ O3(R)⇔σ= 0etS∈ {−11}

b) Montrer :
M∈SO3(R)⇔σ= 0etS= 1
c) Montrer queMest dans SO3(R)si, et seulement si, il existek∈[0427]tel
quea betcsont les racines du polynômeX3−X2+k.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02746 ][correction]
SoitJla matrice deMn(R)dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Quelles sont lesAdeOn(R)telles queJ+Asoit inversible ?

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02747 ][correction]
Soit
M=BADC∈ On(R)
oùA∈ Mp(R)etD∈ Mn−p(R).
Montrer que
(detA)2= (detD)2

Enoncés

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02749 ][correction]
[Transformation de Cayley]
a) SiAest une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres
complexes deA?
b) Soit
1
ϕ:A∈ An(R)7→(In−A)(In+A)−
Montrer queϕréalise une bijection deAn(R)sur

{Ω∈ On(R)−1∈Sp(Ω)}

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02926 ][correction]
Soientp q rdes réels et
p
A=prqqprrq
Montrer queAune matrice de rotation si, et seulement si,est p q rsont les trois
racines d’un polynôme de la formeX3−X2+aoùaest à préciser. Indiquer les
éléments de la rotation.

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02927 ][correction]
On considère des réelsa b c. On pose
A=aabca2−+cbabbcb+2−acbccac2−+ab

a)Aquelle conditionAest-elle orthogonale ?
b) Cette condition étant réalisée, reconnaître l’endomorphisme deR3de matrice
canoniqueA.

Exercice 16[ 03141 ][correction]
Déterminer les matrices deOn(R)dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

Exercice 17[ 03171 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)une matrice inversible vérifiant

AtA=tAA

Montrer que la matriceΩ =tA−1Aest orthogonale.

2

Exercice 18[ 03343 ][correction]
SoitA∈ On(R).
a) Montrer que siλest une valeur propre complexe deAalors|λ|= 1.
b) Soitλune valeur propre complexe non réelle deAetZ∈ Mn1(C)un vecteur
propre associé.
On poseX=Re(Z)etY=Im(Z). Montrer que Vect(X Y)est stable parA.
c) Montrer que les colonnesXetYont alors mme norme et sont orthogonales.
Quelle est la nature de l’endomorphisme induit par la matriceAsur l’espace
Vect(X Y)?

Exercice 19Mines-Ponts MP[ 03751 ][correction]
SoitA∈GLn(R)telle quetA=A2.
a) Montrer queA3=Inet queAest orthogonale.
b) Soitfl’endomorphisme canoniquement associé à la matriceA.
Montrer que le noyau def2+f+Id est de dimension paire et en déduire la forme
de la matrice defdans une base bien choisie.

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Enoncés

Exercice 20Centrale MP[ 03610 ][correction]
Soitn∈N?. SiM∈ Mn(R), on dira queMa la propriété(P)si, et seulement si,
il existe une matriceU∈ Mn+1(R)telle queMsoit la sous-matrice deUobtenue
en supprimant les dernières ligne et colonne deUet queUsoit une matrice
orthogonale, soit encore si, et seulement si, il existeα1     α2n+1∈Rtels que
α2n+1

a) Ici

U=


α1

M

∙ ∙ ∙

αn

λ1

M=

.
αn+2∈ On+1(R)
αn+1

.
.
.

(0)

(0)λn
est une matrice diagonale. Déterminer une condition nécessaire et suffisante
portant sur lesλipour queMait la propriété(P).
b) IciM∈ Sn(R). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM
ait la propriété(P).
c) SiM∈GLn(R), montrer qu’il existeU∈ On(R)etS∈ Sn(R)telles que
M=U S.
On admettra qu’une telle décomposition existe encore siMn’est pas inversible.
d) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM∈ Mn(R)
quelconque ait la propriété(P).
Cette condition portera surtM M.
e) Montrer le résultat admis dans la question c).
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou−1. Le résultat
s’obtient en étendant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant
qu’elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.

Exercice 2 :[énoncé]
Par continuité de l’application linéaire de transposition, on justifie

Par suite

OrTet−T

texp(T) = exp(tT)

texp(T) exp(T) = exp(−T) exp(T)

commutent donc

et on conclut.

exp(−T) exp(T) = exp(−T+T) =In

Exercice 3 :[énoncé]
Par continuité de la transposition

On a alors

t(expA) = exp(tA)

t(expA) expA= exp(−A) exp(A) = exp(−A+A) = exp(On) =In

carAet−Acommutent.
AinsiexpAest une matrice orthogonale.

Exercice 4 :[énoncé]
D’une part

t¯ΩX¯ΩX=tX¯tΩΩX=tX¯X

et d’autre part
tΩ¯X¯ΩX=t(¯λX¯)λX=|λ|2tXX
¯
¯
PuisquetXXréel non nul, on en déduitest un |λ|= 1.

4

Exercice 5 :[énoncé]
On munitRnde sa structure euclidienne canonique, on noteBsa base canonique
etB0la famille d’éléments deRndéterminée parA=MatBB0. La familleB0est
libre, on peut donc l’orthonormaliser par le procédé de Schmidt en une familleB00.
Par changement de base,A=MatBB00×MatB00B0avec MatBB00∈ On(R)car
BB00orthonormées et MatB00B0∈Tn+(R)carB00obtenue par le procédé de
Schmidt.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Les valeurs propres d’une matriceUdeOn(R)diagonalisable ne pouvant tre
que 1 et−1, celle-ci vérifieU2=In. Les