Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices symétriques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Matrices symétriques Exercice 7 [ 03491 ] [correction] Soit A = (a )∈M (R) une matrice symétrique.i,j n a) Justifier que le spectre de A est une partie finie non vide deR.Exercice 1 [ 02614 ] [correction] On poseSoit A∈M (R) symétrique.n n λ = minSpA et λ = maxSpAmin maxOn suppose A =O . Déterminer A.n b) Montrer ∀16i6n,λ 6a 6λmin i,i maxExercice 2 [ 02503 ] [correction] tSoit M∈M (R) telle que M + M soit nilpotente.n Montrer que M est antisymétrique. Exercice 8 [ 00372 ] [correction] Soit A∈S (R) à valeurs propres positives. Etablirn Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 01330 ] [correction] 1t t ? 1/nSoit A∈M (R) telle que AA =A A. On suppose qu’il existe p∈N tel quen (detA) 6 trA p nA = 0. ta) Montrer que AA = 0. b) En déduire que A = 0. Exercice 9 [ 02600 ] [correction] tOn étudie l’équation M MM =I d’inconnue M∈M (R).n n a) Montrer qu’une solution est une matrice symétrique.Exercice 4 [ 00369 ] [correction] t b) En déduire les solutions de l’équation étudiée.Soit A∈M (R). Montrer que la matrice AA est diagonalisable à valeurs propresn positives. Exercice 10 Centrale MP [ 02401 ] [correction] Exercice 5 [ 00370 ] [correction] t tSoient A et B dansM (R). Montrer, si A A =B B, qu’il existe Q∈O (R) teln n Soit A une matrice réelle carrée d’ordre n. que B =AQ. a) Montrer que χt =χ tAA A A t tb) Montrer que les matrices AA et A A sont semblables. Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02750 ] [correction] p ?

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Matrices symétriques

Exercice 1[ 02614 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)symétrique.
On supposeAn=On. DéterminerA.

Exercice 2[ 02503 ][correction]
SoitM∈ Mn(R)telle queM+tMsoit nilpotente.
Montrer queMest antisymétrique.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 01330 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle quetAA=AtA. On suppose qu’il existep∈N?tel que
Ap= 0.
a) Montrer quetAA= 0.
b) En déduire queA= 0.

Enoncés

Exercice 4[ 00369 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Montrer que la matricetAAest diagonalisable à valeurs propres
positives.

Exercice 5[ 00370 ][correction]
SoitAune matrice réelle carrée d’ordren.
a) Montrer que
χtAA=χAtA
b) Montrer que les matricestAAetAtAsont semblables.

Exercice 6[ 00371 ][correction]
Soient
A∈ Mn(R)etB=12tA+A
On noteαla plus petite valeur propre deBetβsa plus grande.
a) Pour une colonneX∈ Mn1(R)comparertXAXettXBX.
b) Montrer que pour toutX∈ Mn1(R),
αtXX6tXAX6βtXX

c) En déduire

SpA⊂[α β]

Exercice 7[ 03491 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Mn(R)une matrice symétrique.
a) Justifier que le spectre deAest une partie finie non vide deR.
On pose
λmin= minSpAetλmax= maxSpA

b) Montrer

∀16i6n λmin6aii6λmax

Exercice 8[ 00372 ][correction]
SoitA∈ Sn(R)à valeurs propres positives. Etablir

(detA)1n61trA
n

Exercice 9[ 02600 ][correction]
On étudie l’équationMtM M=Ind’inconnueM∈ Mn(R).
a) Montrer qu’une solution est une matrice symétrique.
b) En déduire les solutions de l’équation étudiée.

Exercice 10Centrale MP[ 02401 ][correction]
SoientAetBdansMn(R). Montrer, siAtA=BtB, qu’il existeQ∈ On(R)tel
queB=AQ.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02750 ][correction]
SiM∈ Sn(R)vérifieMp=Inavecp∈N?, que vautM2?

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02751 ][correction]
Montrer que le rang deA∈ Mn(R)est égal au nombre de valeurs propres non
nulles (comptées avec leur ordre de multiplicité) detAA.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02757 ][correction]
SoitJla matrice deMn(R)dont tous les coefficient sont égaux à 1. Trouver
P∈ On(R)etD∈ Mn(R)diagonale telles quetP J P=D.

1

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Exercice 14X MP[ 03077 ][correction]
Soientm n∈N?etM∈ Mmn(R).
Etablir l’existence deU∈ Om(R)etV∈ On(R)telle que la matriceN=U M V
vérifie :
∀(i j)∈ {1     m} × {1     n} i6=j⇒Nij= 0

Exercice 15[ 03088 ][correction]
Soit
a1b1(0)
.
c1a.∈ M(R)
A=2.n
.n−
 .. . . .ban1
(0)cn−1

vérifiantbkck>0pour tout16k6n−1.
a) Montrer qu’il existe une matrice diagonale inversibleDvérifiant

D−1AD∈ Sn(R)

b) En déduire queAest diagonalisable.

Enoncés

Exercice 16[ 03161 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Sn(R)de valeurs propresλ1     λncomptées avec multiplicité.
Etablir
n n
Xai2j=Xλi2
ij=1i=1

Exercice 17[ 03162 ][correction]
SoientA B∈ Sn(R)etp∈N. On suppose queA2p+1=B2p+1. Montrer que
A=B.

Exercice 18[ 03163 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Montrer que les matricestAAetAtAsont orthogonalement
semblable i.e.
∃P∈ On(R)tΩ(tAA)Ω =AtA

Exercice 19CCP MP[ 03398 ][correction]
Justifier que
A=−−221−−12−−22
2 1
est diagonalisable et trouverPtelle quetP APsoit diagonale.

Exercice 20[ 03488 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)vérifiant
SptAA−AtA⊂R+

Montrer queAettAcommutent.

Exercice 21[ 03489 ][correction]
SoitA∈ Sn(R)vérifiantA2=A. Etablir
kAk16n√trA

Exercice 22[ 03664 ][correction]
SoitM∈ Mn(R)etA=tM M.
a) Montrer que les valeurs propres deAsont positives.
b) Soit(Xi)16i6nune famille orthonormée de colonnes telle que la famille
(M Xi)16i6nsoit orthogonale.
Montrer que lesXisont des vecteurs propres deA.

Exercice 23Mines-Ponts PC[ 03762 ][correction]
SoientA∈ Mn(R)symétrique. On pose

B=A3+A+In

Montrer queAest un polynôme enB.

Exercice 24[ 03758 ][correction]
SoientA∈ Mn(R)symétrique et positive. On pose

B=A2+A+In

Montrer queAest un polynôme enB.

2

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Enoncés

Exercice 25Centrale MP[ 03738 ][correction]
a)A=abbc∈ M2(R)etB=2112
A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura b cexiste-t-ilP∈ O2(R)telle
queA=P BtP?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb c∈Ret
P∈ O2(R)tels queA=P BtP?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes surcexiste-t-ila b∈Ret
P∈ O2(R)tels queA=P BtP?
b)A=cdab∈ M2(R)etB=2112
A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura b c dexiste-t-ilP∈GL2(R)
telle queA=P BP−1?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb c d∈Ret
P∈GL2(R)tels queA=P BP−1?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes surdexiste-t-ila b c∈Ret
P∈GL2(R)tels queA=P BP−1?
c) SiA B∈ Mn(R), justifier l’existence de
P Qm∈aOxn(RdetP AtP+QBtQ
)
d) Calculer ce maximum siB=2112etA=−21−−12.
e) SiA B∈ Mn(R),
 

sup detP AP−1+QBQ−1
PQ∈GLn(R)

est-il fini en général ? (Si oui, le montrer, si non, donner un contre-exemple).
f) De manière générale, siA1     Ak∈ S2+(R)déterminer
P1Pk∈O2(R)detP1A1tP1+∙ ∙ ∙+PkAk tPk
max

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 26CCP MP[ 02413 ][correction]
On considère la matrice
A=−−122−−212
a) Justifiez queAest diagonalisable.
b) DéterminerPetDdansM3(R)telles que
tP AP=D.

1
−2
−2

tP=P−1,Dest diagonale et

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Aest diagonalisable car symétrique et ses valeurs propres sont nulles car racines
deXn. On en déduit queAest semblable à la matrice nulle et donc égale à la
matrice nulle.

Exercice 2 :[énoncé]
A=M+tMet ses valeurs propres sont nullesest diagonalisable car symétrique
car racines deXn. On en déduit queAest semblable à la matrice nulle et donc
égale à la matrice nulle. AinsiMest antisymétrique.

Exercice 3 :[énoncé]
a) PuisqueAettAcommutent, on a(tAA)p= (tA)pAp= 0et donctAAest
nilpotente.
D’autre part, la matricetAAest symétrique réelle donc diagonalisable. Etant
nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0 et donctAAest nulle car
semblable à la matrice nulle.
b) En exploitant le produit scalaire canonique surMn(R)on a
kAk2= (A|A) =trtAA= 0

et doncA= 0

Exercice 4 :[énoncé]
La matricetAAsymétrique réelle donc diagonalisable (via une matrice deest
passage orthogonale). Siλest valeur propre detAAalors pourXvecteur propre
associé,tXtAAX=λtXXettXtAAX=t(AX)AXdoncλ=(AkXX|kA2X)>0avec
(|)produit scalaire canonique surMn1(R).

Exercice 5 :[énoncé]
a) PourAinversible

detAχtAA(λ) = det(AtAA−λA) =χAtA(λ)detA

doncχtAA=χAtApuisquedetA6= 0
.
Les applicationsA7→χtAAetA7→χAtAétant continues et coïncidant sur la
partie dense GLn(R), on peut affirmer qu’elles sont égales surMn(R).

4

b)tAAest une matrice symétrique réelle donc diagonalisable. Ses valeurs propres
sont les racines deχtAAet la dimension des espaces propres correspondent à la
multiplicité des racines respectives deχtAA.
Puisqu’on a la mme affirmation pourAtA, on peut affirmer quetAAetAtAsont
semblables car toutes deux semblables à une mme matrice diagonale.

Exercice 6 :[énoncé]
a) PuisquetXAX=t(tXAX) =tXtAXon atXAX=tXBX.
b) EncadronstXBX.
Best symétrique réelle donc orthogonalement diagonalisable.
Ainsi, il existeP∈ On(R)vérifiantB=P DtPavecD=diag(λ1     λn),
λi∈[α β].
En posantY=tP X, on atXBX=tY DYcompris entreαtY YetβtY Yavec
tY Y=tXX.
c) Soientλune valeur propre deAetXun vecteur propre associé.
On aAX=λXettXtA=λtXdonctXBX=λtXXet ce qui précède donne
λ∈[α β].

Exercice 7 :[énoncé]
a) La matrice est symétrique réelle donc orthogonalement diagonalisable et par
conséquent possède des valeurs propres toutes réelles. Bien entendu ces valeurs
propres sont en nombre fini.
b) Notonsλ1     λnles valeurs propres comptées avec multiplicité de la matrice
A. Puisque la matriceAest orthogonalement diagonalisable, il existe une matrice
P∈ On(R)telle que

A=tP DPavecD=diag(λ1     λn)
Pour tout colonneX=tx1 x  n, en posant
Y=P X=ty1   yn, on a

Or

avec

n
tXAX=tY DY=Xλiyi2
i=1

n n n
λminXyi26Xλiyi26λmaxXyi2
i=1i=1i=1

n n
Xyi2=tY Y=tXtP P X=tXX=Xxi2
i=1i=1

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On en déduit
n n
λminXxi26tXAX6λmaxXxi2
i=1i=1
En prenant la colonne élémentaireX=Ei, on obtient

λmin6aii6λmax

Exercice 8 :[énoncé]
Notonsλ1     λnles valeurs propres deA. On a

detA=λ1   λnet trA=λ1+∙ ∙ ∙+λn

L’inégalité de convexité

(λ1   λn)1n6n1(λ1+∙ ∙ ∙+λn)

Corrections

est bien connue, c’est la comparaison des moyennes géométrique et arithmétique
qui s’obtient par la convexité de l’exponentielle appliquée aux réelsai= lnλi
lorsqueλi>0.

Exercice 9 :[énoncé]
a) SoitMsolution. On aM(tM M) =Inet aussitM(MtM) =In.
Ainsi l’inverse de la matricetM Mest égale àMet àtM. On en déduitM=tM.
b) SoitMsolution. La matriceMest donc symétrique et vérifieM3=In.
PuisqueX3−1est annulateur deM, 1 est sa seule valeur propre réelle.
PuisqueMest symétrique réelle,Mest diagonalisable dansMn(R).
Au finalMest semblable àIndoncM=In.
Réciproque immédiate.

Exercice 10 :[énoncé]
La résolution est évidente siAest inversible puisque la matriceQ=A−1B
convient.
Dans le cas général, munissonsRnde sa structure euclidienne canonique et
considérons les endomorphismesuetvdeRncanoniquement représentés parAet
B. La base canonique deRnétant orthonormée on auu?=vv?. Or il est connu
quer=rgu=rguu?donc Imu=Imuu?puis Imu=Imv.
Puisquedim keru= dim(Imu)⊥, il existeρ1∈ O(Rn)transformant(Imu)⊥en
keru. Considérons alorsu0=uρ1. On vérifieu0u0?=uu?etkeru0= (Imu)⊥. De

5

mme, on définitρ2∈ O(Rn)tel quev0=vρ2vérifiev0v0?=vv?et
kerv0= (Imu)⊥.
SoitBune base orthonormée adaptée à la décomposition Imu⊕Imu⊥=Rn. Dans
cette base les matrices deu0etv0sont de la formeA0000etB0000avec
A0 B0∈ Mr(R)inversibles et vérifiantA0tA0=B0tB0. Il existe alorsQ0∈ Or(R)
vérifiantB0=A0Q0. En considérantρl’endomorphisme de matriceQ00In0−r
dansB, on obtientv0=u0ρavecρ∈ On(R).
Il en découle la relationv=u(ρ1ρρ2−1)avecρ1ρρ2−1∈ O(Rn)qu’il suffit de
retraduire matriciellement pour conclure.

Exercice 11 :[énoncé]
Mest diagonalisable et ses valeurs propres sont racines deXp−1, elles ne peuvent
donc qu’tre1ou−1. Par suiteM2=In.

Exercice 12 :[énoncé]
Par comparaison de noyau, il est facile d’obtenir : rgA=rgtAA.
La matricetAAétant symétrique réelle, elle est diagonalisable et donc son rang
est égal au nombre de ses valeurs propres non nulles comptées avec multiplicité.

Exercice 13 :[énoncé]
Sp(J) ={0 n},E0(J) :x1+∙ ∙ ∙+xn= 0etEn(J) :x1=  =xn.
1√n1√2 0
D=diag(n0    0)etP=.−1√2..conviennent.
.
1.√n0...−11√√22

Exercice 14 :[énoncé]
CasM∈GLn(R)
Soitul’endomorphismeRncanoniquement représenté parM.
Il s’agit d’établir, queutransforme une base orthonormée en une famille
orthogonale.
On remarque que
(u(x)|u(y)) = (u?◦u(x)|y)

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Corrections

L’endomorphismeu?◦uétant symétrique, le théorème spectral assure qu’il existe
une base orthonorméeB= (e1     en)le diagonalisant. Par le calcul qui précède,
la famille(u(e1)     u(en))est orthogonale.
De plus elle ne comporte pas le vecteur nul caru∈GL(E). Posons alorsB0la
famille des vecteursu(ek)ku(ek)k.
La familleB0est une base orthonormée et la matrice deudans les basesBetB0
est diagonale (à coefficients diagonaux strictement positifs).
Une formule de changement de base orthonormée permet alors de conclure.
Cas général :M∈ Mmn(R)
Soitul’application linéaire deRnversRmcanoniquement représenté parM.
PosonsF= keruetG=Imu. La matrice deudans une base orthonormée
adaptée à la décompositionF⊥⊕⊥F=Rnau départ et dans une base
orthonormée adaptée à la décompositionG⊕⊥G⊥=Rmà l’arrivée est de la forme
M0=OOOAavecA∈GLr(R),r=rgM

L’étude qui précède permet de transformerAen une matrice diagonaleDvia
produit par des matrices orthogonalesUetV:

U AV=D

En introduisant les matrices orthogonales
0=OIUmO−reVO
UtV0=

on obtient en opérant par blocs
U0M0V0=OOOD

O
In−r

Enfin par une formule de changement de bases orthonormées, il existeU00 V00
orthogonales telles que
M0=U00M V00

et on peut alors conclure.

Exercice 15 :[énoncé]
a) PosonsD=diag(λ1     λn).
En notantaijle coefficient d’indice(i j)de la matriceA, le coefficient d’indice
(i j)deD−1ADest
λi−1λjaij

La matriceD−1ADest alors symétrique si, et seulement si, ses coefficients
d’indices(i i+ 1)et(i+ 1 i)sont égaux i.e.

λi−1λi+1bi=λi−1+1λici

soit encore
λi21+=λi2cbi
i
En choisissantλ1non nul quelconque et en posant
λ2=λ1pc1b1     λn=λn−1pcn−1bn−1

6

on forme une matriceDconvenable.
b)D−1ADest symétrique réelle donc diagonalisable et puisqueAest semblable à
une matrice diagonalisable, elle l’est aussi.

Exercice 16 :[énoncé]
Puisque symétrique réelle, la matriceAest orthogonalement semblable à la
matriceD=diag(λ1     λn)ce qui permet d’écrire

On a alors

A=tP DPavecP∈ On(R)

tr(tAA) =tr(tP D2P) =tr(D2)

ce qui fournit la relation proposée.

Exercice 17 :[énoncé]
Soitλ∈R. On a de façon immédiate

1
ker(A−λIn)⊂ker(A2p+−λ2p+1In)

Or la matriceAest diagonalisable donc
n=Xdim ker(A−λIn)
λ∈SpA

Puisque lesλ2p+1sont deux à deux distincts quand lesλvarient et puisque les
sous-espaces propres deA2p+1sont en somme directe, on peut affirmer que les
inclusions précédentes sont en fait des égalités.
Ainsi
∀λ∈Rker(A−λIn) = ker(A2p+1−λ2p+1In)

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Puisqu’on a la mme affirmation pourB, on obtient

∀λ∈Rker(A−λIn) = ker(B−λIn)

Sachant que les matricesAetBsont diagonalisables et ont les mmes
sous-espaces propres, on peut conclureA=B.

Corrections

Exercice 18 :[énoncé]
Puisqu’il est connu queχAB=χBA, les matricestAAetAtApossèdent le mme
polynôme caractéristique. Ces deux matrices ont donc les mmes valeurs propres
et ces dernières ont mme multiplicité. Puisque ces matrices sont symétriques
réelles, elles sont toutes deux orthogonalement diagonalisables et donc
orthogonalement semblables à une mme matrice diagonale ce qui permet de
conclure.

Exercice 19 :[énoncé]
La matriceAest symétrique réelle donc diagonalisable.
Après calculs
χA=−(X+ 3)(X−3)2
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est le plan d’équation
x+y+z= 0.
Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux
orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre
−3est la droitex=y=z.
On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matriceP
convenable
P=1√3 1√2 1√6
1√3−1√2 1√6
1√3 0−2√6

Exercice 20 :[énoncé]
La matricetAA−AtAest symétrique réelle et donc diagonalisable. Sa trace est
alors égale à la somme de ses valeurs propres. Or
trtAA−AtA=trtAA−trAtA= 0

car tr(AB) =tr(BA). Puisque toutes les valeurs propres sont positives, on en
déduit qu’elles sont toutes nulles et donctAA−AtAest la matrice nulle car
diagonalisable de seule valeur propre 0.

Exercice 21 :[énoncé]
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
nvnvn
X12|2=nkAk2
kAk1=ijX=1|aij|6tuij=1utijX=1|aij

7

Or la matriceAest orthogonalement semblable à une matrice de diagonaleD. On
peut donc écrireA=P DtPavecP∈ On(R)et alors
kAk22=trtAA=trPtDtP P DtP=tr(P D2tP) =tr(D2tP P) =tr(D2)
PuisqueAannule le polynômeX(X−1), les valeurs propres deAne peuvent
qu’tre égales à 0 ou 1 et donc

tr(D2) =tr(D) =trA

et l’on obtient la relation proposée.

Exercice 22 :[énoncé]
a) Soitλune valeur propre deAetX6= 0un vecteur propre associé. On a
AX=λX.
D’une part
tXAX=λtXX=λkXk2

D’autre part

donc

tXAX=t(M X)M X=kM Xk2

λ=kM X2k2>0
kXk

b) Pourj6=i, on a
tXjAXi=t(M Xj)M Xi= 0

donc
AXi∈Vect(X1     Xi−1 Xi+1    Xn)⊥=Vect(Xi)
et par conséquentXiest vecteurs propres deA.

Exercice 23 :[énoncé]
La matriceAest diagonalisable semblable à

D=diag(λ1     λn)

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Corrections

PosonsC=D3+D+In. En montrant queDest un polynôme enCi.e.
D=P(C)on vérifie par similitude queAest un polynôme enBà savoir
A=P(B).
On a
C=diag(µ1     µn)avecµi=λi3+λi+ 1
On vérifie aisément que la fonctionx7→x3+x+ 1est injective surR. Ainsi lesµi
égaux correspondent auxλiégaux et inversement ce qui permet de considérer un
polynôme interpolateur construit de sorte que

∀16i6n P(µi) =λi

On vérifie alorsP(C) =Det l’on conclut.

Exercice 24 :[énoncé]
La matriceAest diagonalisable semblable à

D=diag(λ1     λn)avecλi>0

PosonsC=D2+D+In. En montrant queDest un polynôme enCi.e.
D=P(C)on vérifie par similitude queAest un polynôme enBà savoir
A=P(B).
On a
C=diag(µ1     µn)avecµi=λi2+λi+ 1
On vérifie aisément que la fonctionx7→x2+x+ 1est injective surR+. Ainsi les
µiégaux correspondent auxλiégaux et inversement ce qui permet de considérer
un polynôme interpolateur construit de sorte que

∀16i6n P(µi) =λi

On vérifie alorsP(C) =Det l’on conclut.

Exercice 25 :[énoncé]
a) SiAetBsemblables, ces deux matrices sont semblablessont orthogonalement
et ont donc mme trace et mme déterminant. On en tire les conditions
nécessairesa+c= 4etac−b2= 3
Inversement, sia+c= 4etac−b2= 3alorsAetBont le mme polynôme
caractéristiqueX2−4X+ 3de racines 1 et 3. Les matricesAetBétant
symétriques réelles, elles sont toutes les deux orthogonalement semblables à
D=diag(13)et doncAetBsont orthogonalement semblables.

8

Pourafixé, on trouverabetcconvenables si, et seulement si, on peut trouver
b∈Rtel queb2=ac−3 =a(4−a)−3d’où la condition nécessaire et suffisante
16a63.
Par symétrie, pourcfixé, on obtient la condition16c63.
b) Le raisonnement est analogue au précédent en parlant seulement de matrices
semblables et l’on obtient la condition doublea+d= 4etad−bc= 3.
Pourafixé, il existe toujoursb c d∈Rtels queAetBsoient semblables : il suffit
de prendred= 4−aetbetcde sorte quebc=−a2+ 4a−3.
Pourdfixé : idem.
c) La fonction(P Q)7→det (P AtP+QBtQ)est continue, à valeurs réelles et
définie sur le compact non videOn(R)× On(R), elle y admet donc un maximum.
d) Après réduction, la matrice symétrique réelleAest orthogonalement semblable
à la matriceD=diag(√5√−5)ce qui permet d’écrireA=U DtUavec
U∈ O2(R). On a alors

det(P AtP+QBtQ) = det(D+V BtV)

avecV=tUtP QparcourantO2(R). La matriceV BtVest de la forme
acbbaveca+c= 4,ac−b2= 3et16a63

et donc

det(P AtP+QBtQ) = 2(2−a)√5−2

est maximal poura= 1. Finalement
PQ∈On(R)P QBtQ= 2√5−1
max detAtP+

e) Non, prenons par exemple
A=0010

La matrice

etB=

0
0

C=xx11−−xx

01

est semblable àBet peut donc s’écrireC=QBQ−1avecQ∈GL2(R). Pour
P=I2∈GL2(R), on obtient
P AP−1+QBQ−1=xx12−−xx

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Corrections

de déterminant
x(2−x)−x(1−x) =x−−−−→+∞
x→+∞
f) En remplaçantAipar une matrice orthosemblable, on peut supposerAide la
forme
Ai=α0iβ0iavecαi>βi
et donc écrire
 

Ai=tr2(Ai)I2+δi0cδ αi−2βi>0
0−δiavei=

Une matrice orthogonalePipeut s’écrire sous la forme
Pi=sinocsθθii−ncosisθθiiouPi=nsocisθθii−sconisθiθi

et alors dans les deux cas
PiAitPi=tr(2Ai)I2+δicos(2θi)−δiδisi((no2scθ2iθ)i)
δisin(2θi)

En posant

m(21=tr(A1) +∙ ∙ ∙+tr(Ak))

on peut écrire
detP1A1tP1+∙ ∙ ∙+PkAk tPk= detmI2+i=kX1δicos(2θi)δi(sois(n2θ2iθ)i)
δisin(2θi)−δic

!

et après calcul
k
detP1A1tP1+∙ ∙ ∙+PkAk tPk=m2−ki=X1δicos(2θi)!2+Xδisin(2θi)!2
i=1

Pour maximiser le déterminant, il suffit de savoir minimiser la fonction donnée par
k
f(α1     αk) =i=X1δicos(αi)!2+iXk=1δisin(αi)!2

On peut interpréterfdans le plan complexe

f(α1     αk) =δ1eiα1+∙ ∙ ∙+δkeiαi2

Quitte à réordonner les matricesAi, on peut supposer

δ1>δ2>  >δk

9

Casδ16δ2+∙ ∙ ∙+δk
On peut montrer que la fonctionfs’annule : c’est assez facile sik= 2car alors
δ1=δ2, c’est aussi vrai sik>3établissant que le système suivant possède uneen
solution
(δδ22sosicnαα+=δ3sinβ
δ3cosβ=δ1−(δ4+∙ ∙ ∙+δk)

que l’on obtient avec
α= arcsinδ3sδi2nβetβ∈[0 π2]bien choisi

Dans ce cas le maximum dedet (P1A1tP1+∙ ∙ ∙+PkAk tPk)vautm2
.
Casδ1> δ2+∙ ∙ ∙+δk
La fonctionfne peut s’annuler car
δ1eiα1+∙ ∙ ∙+δkeiαi= 0⇒δ1=−δ2ei(α2−α1)+∙ ∙ ∙+δkei(αk−α1)

et en passant au module on obtient alorsδ16δ2+∙ ∙ ∙+δk.
La fonction est de classeC1et admet donc un minimum sur le compact[02π]k
qui est un point critique. Si(β1     βk)est un point critique alors

ce qui donne

∀16i6f∂∂k(β1     βk) = 0
αi

k k
∀16i6k Csinβi=ScosβiavecC=XδjcosβjetS=Xδjsinβj
j=1j=1

Ici(C S)6= (00)car on est dans le cas où la fonctionfne s’annule pas. On
obtient alors
isnsocββiisnisocββjj= 0
Les points du cercles trigonométriques repérés par les anglesβietβjsont alors
confondus ou diamétralement opposés. Cela permet d’écrire pour chaque indicei

cosβi=εicosαetsinαi=εisinα

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avecεi=±1etαun angle fixé. On a alors
iXk=1εiδi!2
f(β1     βn) =

et donc
minf=ε1mεinn=±1iXk=1εiδi!2=µ2
et alors la borne supérieure cherchée vaut

m2−µ2= (m−µ)(m+µ)

Cette quantité peut aussi s’interpréter comme égale à

λ(2m−λ)

Corrections

avecλla quantité la plus proche demque l’on parvient à obtenir en sommantk
valeurs chacune choisies parmi les deux valeurs propres possibles de chaque
matriceA1     Ak.
Cette résolution m’a pris des heures. . . elle me semble bien compliquée et
n’exploite pas la positivité des matricesAi! Néanmoins l’expression compliquée de
la solution et, notamment la discussion, ne me semble pas pouvoir tre évitée !

Exercice 26 :[énoncé]
a) La matriceAest symétrique réelle donc diagonalisable.
b) Après calculs
χA=−(X−3)(X+ 3)2

Le sous-espace propre associé à la valeur propre−3est le plan d’équation
x−2y+z= 0.
Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux
orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre
−3est la droite Vect(1−21).
On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matriceP
convenable
−12√√6160√11221√√√333pourD=300−030−300
P=1√6−1√

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