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Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Ensembles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Ensembles b) A =B⇔A∩B =A∪B. c) A∪B =A∩C⇔B⊂A⊂C( A∪B =A∪CExercice 1 [ 01491 ] [correction] d) ⇔B =C Soit E ={a,b,c} un ensemble. Peut-on écrire : A∩B =A∩C a) a∈E b) a⊂E c){a}⊂E d)∅∈E e)∅⊂E f){∅}⊂E? Exercice 7 [ 01497 ] [correction] Soient A et B deux parties de E, on appelle différence symétrique de A et B, l’ensemble Exercice 2 [ 01492 ] [correction] A ΔB = (A\B)∪ (B\A) Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu’on Montrer cite ses éléments. Par exemple,{n∈Z/∃k∈Z,n = 2k} et{2k/k∈Z} sont des AΔB = (A∪B)\(A∩B) descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des entiers pairs. a) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble{1, 3, 5, 7,...}. Exercice 8 [ 01498 ] [correction] b) en compréhension et enble{1, 10, 100, 1000,...}. Etant donné A, B et C trois parties d’un ensemble E, montrer que : c) Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels. a) AΔB =AΔC⇔B =C d) en compréhension l’ensemble ]0, 1]. b) A\B =A⇔B\A =B e) Décrire en et en extension l’ensemble des valeurs prises par une c) AΔB =A∩B⇒A =B =∅. fonction f :R→R. f) Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel y par une fonction f :R→R. Exercice 9 [ 01499 ] [correction] Soient A,B deux parties de E. Discuter et résoudre l’équation A∪X =B d’inconnue X∈P(E).

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Langue Français

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Ensembles

Exercice 1[ 01491 ][correction]
SoitE={a b c}un ensemble. Peut-on écrire :

a)a∈E
d)∅ ∈E

b)a⊂Ec){a} ⊂E
e)∅ ⊂Ef){∅} ⊂E?

Enoncés

Exercice 2[ 01492 ][correction]
Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un
ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu’on
cite ses éléments. Par exemple,{n∈Z∃k∈Z n= 2k}et{2kk∈Z}sont des
descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des
entiers pairs.
a) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble{1357   }.
b) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble{1101001000   }.
c) Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels.
d) Décrire en compréhension l’ensemble]01].
e) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une
fonctionf:R→R.
f) Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réelypar une
fonctionf:R→R.

Exercice 3[ 01493 ][correction]
DécrireP(P({a}))oùadésigne un élément.

Exercice 4[ 01494 ][correction]
SoientA B C∈ P(E). Etablir

A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C)

Exercice 5[ 01495 ][correction]
Etant donnéAetBdeux parties deE, justifierCEA\CEB=B\A.

Exercice 6[ 01496 ][correction]
Etant donnéA,BetCtrois parties deE, justifier les équivalences suivantes :
a)A⊂B⇔A∪B=B.

b)A=B⇔A∩B=A∪B.
c)A∪B=A∩C⇔B⊂A⊂C
d)(AA∪∩BB==AA∪∩CC⇔B=C

Exercice 7[ 01497 ][correction]
SoientAetBdeux parties deE, on appelle différence symétrique deAetB,
l’ensemble
AΔB= (A\B)∪(B\A)

Montrer

AΔB= (A∪B)\(A∩B)

Exercice 8[ 01498 ][correction]
Etant donnéA,BetCtrois parties d’un ensembleE, montrer que :
a)AΔB=AΔC⇔B=C
b)A\B=A⇔B\A=B
c)AΔB=A∩B⇒A=B=∅.

Exercice 9[ 01499 ][correction]
SoientA Bdeux parties deE.
Discuter et résoudre l’équationA∪X=Bd’inconnueX∈ P(E).

Exercice 10[ 01500 ][correction]
SoientA Bdeux parties deE.
Discuter et résoudre l’équationA∩X=Bd’inconnueX∈ P(E).

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Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On peut écrire : a), c), e).

Exercice 2 :[énoncé]
a){1357}={n∈N∃k∈N n= 2k+ 1}={2k+ 1k∈N}.
b){1101001000   }=x∈R∃k∈N x= 10k=10kk∈N.
c)Q={pq|p∈Z q∈N?}.
d)]01] ={x∈R0< x61}.
e){y∈R∃x∈R y=f(x)}={f(x)x∈R}.
f){x∈Rf(x) =y}.

Exercice 3 :[énoncé]
P({a}) ={∅{a}}etP(P({a})) ={∅{∅}{{a}}{∅{a}}}.

Exercice 4 :[énoncé]
A\(B∩C) =A∩CE(B∩C) = (A∩CEB)∪(A∩CEC) = (A\B)∪(A\C)

Exercice 5 :[énoncé]
CEA\CEB=CEA∩CECEB=B∩CEA=B\A.

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a)(⇒)SupposonsA⊂B. On a toujoursB⊂A∪B.
Pourx∈A∪B. Quex∈Aoux∈Bon ax∈BdoncA∪B⊂B. Ainsi
A∪B=B.
(⇐)SupposonsA∪B=B. PuisqueA⊂A∪B, on aA⊂B.
b)(⇒)SupposonsA=B. On aA∩B=A=A∪B.
(⇐)SupposonsA∩B=A∪B. On aA⊂A∪B⊂A∩B⊂Bet de mmeB⊂A
doncA=B.
c)(⇒)SupposonsA∪B=A∩C.
On aB⊂A∪B=A∩C⊂A⊂A∪B=A∩C⊂C.
(⇐)SupposonsB⊂A⊂C.A∪B=A=A∩C.
d)(⇒)SupposonsA∪B=A∪CetA∩B=A∩C.
Soitx∈B.
Six∈Aalorsx∈A∩B=A∩Cdoncx∈C.

Six ∈Aalors sachantx∈A∪Bon ax∈A∪C, orx ∈Adoncx∈C.
Dans les deux casx∈C. AinsiB⊂Cet de manière symétriqueC⊂Bd’où
l’égalité.
(⇐)SiB=Calors clairementA∪B=A∪CetA∩B=A∩C.

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Exercice 7 :[énoncé]
Soitx∈E.
x∈AΔB⇔(x∈Aetx∈ B)ou(x∈Betx ∈A)
⇔(x∈Aoux∈B)et(x∈Aoux ∈A)et(x ∈Boux∈B)et(x ∈Boux∈ A)
⇔x∈A∪Betx ∈A∩B⇔x∈(A∪B)\(A∩B)
d’où l’égalité des ensembles.

Exercice 8 :[énoncé]
a) SiAΔB=AΔCalors pour toutx∈B:
Six∈Aalorsx∈ AΔBet doncx ∈AΔCet puisquex∈A,x∈C.
Six∈ Aalorsx∈AΔBet doncx∈AΔCet puisquex ∈A,x∈C.
Dans les deux casx∈C. AinsiB⊂Cet un raisonnement symétrique donne
C⊂Bpuis l’égalité.
Réciproque immédiate.
b)A\B=A⇔A∩CEB=A⇔A⊂CEBorA⊂CEB⇔B⊂CEAet donc
A\B=A⇔B\A=B.
c)AΔB= (A∪B)\(A∩B)donc
AΔB=A∩B⇒A∩B=∅=A∪B⇒A=B=∅.

Exercice 9 :[énoncé]
SiA6⊂Bclair que l’équation n’a pas de solutions.il est S=∅.
SiA⊂BalorsA∪X=B⇒X⊂BetB\A⊂X. Inversement ok
AinsiS={X∈℘(E)B\A⊂X⊂B}

Exercice 10 :[énoncé]
SiB6⊂Aalors l’équation n’a pas de solution.
SiB⊂A. SoitXune solution de l’équation.
¯ ¯ ¯
On aX= (A∩X)∪(A∩X) =B∪CavecC=A∩X⊂A.
¯
Inversement, pourX=B∪CavecC⊂A,A∩X= (A∩B)∪(A∩C) =B.
AinsiS=X=B∪CC⊂A¯=X∈ P(E)B⊂X⊂B∪A¯.

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