Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Espace préhilbertien complexe
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Espace préhilbertien complexe Exercice 1 [ 00514 ] [correction] On définit une application ϕ :C [X]×C [X]→C par Z π1 iθiθϕ(P,Q) = P (e )Q(e )dθ 2π −π a) Montrer que ϕ est un produit scalaire hermitien sur C [X].

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Espace préhilbertien complexe

Exercice 1[ 00514 ][correction]
On définit une applicationϕ:C[X]×C[X]→Cpar
ϕ(P Q)=12πZ−ππP(eiθ)Q(eiθ)dθ

a) Montrer queϕest un produit scalaire hermitien surC[X].
b) Montrer que la famille(Xk)k∈Nest une base orthonormée pour le produit
scalaire précédent.
c) SoitQ=Xn+an−1Xn−1+∙ ∙ ∙+a0. CalculerkQk2.
d) On pose
M= sup|Q(z)|
|z|=1

Montrer queM>1et étudier le cas d’égalité

Enoncés

Exercice 2[ 00515 ][correction]
SoientEun espace préhilbertien complexe etu∈ L(E)tel que pour toutx∈E,

˜
Montrer queu= 0.

Exercice 3
On pose

(u(x)|x) = 0

[ 03080 ][correction]
H=((xn)∈CNn=+X∞0|xn+1−xn|2<+∞)
Montrer queHest un espace préhilbertien

Exercice 4[ 03319 ][correction]
Soit(x1     xn)des nombres complexes.
Préciser image et noyau de l’endomorphismefdeCndont la matrice dans la base
canonique est
A= (xi¯xj)16ij6n

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)ϕ(Q P) =ϕ(P Q)etQ7→ϕ(P Q)linéaire : clair.
ϕ(P P21=)πZ−ππP(eiθ)2dθ>0

et

donc

ϕ(P P) = 0⇒ ∀θ∈[−π π] P(eiθ) = 0

∀z∈U P(z) = 0

PuisquePadmet une infinité de racines,P= 0.
b) Soientk `∈N.
ϕ(Xk X`)=12πZ−ππei(`−k)θdθ=δ`k

c)ϕ(Q Q) = 1 +|an−1|2+∙ ∙ ∙+|a0|2car(1 X X2     Xn)est une famille
orthonormée.
d) On a
ϕ(Q Q)1=2πZ−ππQ(eiθ)2dθ6M2
orϕ(Q Q)>1doncM>1.
SiM= 1alorsan−1=  =a0= 0etQ=Xn.
La réciproque est immédiate.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Soientx y∈E.(u(x+y)|x+y) = (u(x)|y) + (u(y)|x) = 0et
(u(x+iy)|x+iy) =i(u(x)|y)−i(u(y)|x) = 0donc(u(x)|y) =−(u(x)|y)
puis(u(x)|y) = 0.
Comme ceci vaut pour touty∈E, on obtientu(x) = 0pour toutx∈E.

Exercice 3 :[énoncé]
On sait que

+∞
`(un)∈CNX|un|2<+∞
2(NC) =(n=0

)

est un espace de préhilbertien pour le produit scalaire

2

+∞
hu|vi=Xunvn
¯
n=0
Considérons alors l’applicationΔ :CN→CNqui à une suitex= (xn)∈CNassocie

Δ(x) = (xn+1−xn)n∈N

On vérifie aisément queΔest une application linéaire et que son noyau est égal à
l’espace des suites constantes.
Puisque
H= Δ−1`2(NC)
Hl’image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire etest
doncHest un sous-espace vectoriel deCN; c’est donc unC-espace vectoriel.
Pourx y∈H, posons

ϕ(x y) =hΔ(x)|Δ(y)i+x0y0

L’applicationϕest évidemment sesquilinéaire hermitienne.
ϕ(x x) =kΔ(x)k22+|x0|2>0
Diϕ(x x) = 0alors
kΔ(x)k2= 0et|x0|= 0
Par suitexest une suite constante et puisque son terme initial est nul, c’est la
suite nulle.
Finalementϕest un produit scalaire hermitien surHet doncHest un espace
préhilbertien complexe.

Exercice 4 :[énoncé]
On munitCnde son produit scalaire canonique et on poseX=t
¯
On aA=XtXdonc, pour une colonneY∈ Mn1(C)
=XtX¯Y=X(X|Y) = (X|Y)X
AY

Ainsi, six= (x1     xn)alors
∀y∈Cn f(y) = (x|y)x

On en déduit que si(x1     xn)6= 0Cnalors

Imf=Vectxetkerf= (Vectx)⊥
˜
et si(x1     xn) = 0Cnalorsf= 0.

x1∙ ∙ ∙

xn.

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