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Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Dimension d'un espace vectoriel

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Dimension

d’un

espace

vectoriel

Exercice 1[ 01634 ][correction]
SoitEl’ensemble des fonctionsf:R→Rtelles qu’il existea b c
lesquels :
∀x∈R,f(x) = (ax2+bx+c) cosx

a) Montrer queEest sous-espace vectoriel deF(RR).
b) Déterminer une base deEet sa dimension.

∈Rpour

Exercice 2[ 01635 ][correction]
Soitp∈N?etEl’ensemble des suites réellesppériodiques i.e. l’ensemble des
suites réelles(un)telles que

∀n∈N u(n+p) =u(n)

Enoncés

Montrer queEest unR-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.

Exercice 3[ 01636 ][correction]
SoitE=RR. Pour toutn∈N, on posefn:x7→xn.
a) Montrer que(f0     fn)est libre.
b) En déduiredimE.

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Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)E=Vect(f0 f1 f2)avecf0(x) = cosx,f1(x) =xcosxetf2(x) =x2cosx.
Eest donc un sous-espace vectoriel et(f0 f1 f2)en est une famille génératrice.
b) Supposonsαf0+βf1+γf2= 0. On a∀x∈R,(α+βx+γx2) cosx= 0.
Pourx= 2nπ, on obtientα+ 2nπβ+ 4n2π2γ= 0pour toutn∈N.
Siγ6= 0alorsα+ 2nπβ+ 4n2π2γ→ ±∞. C’est exclu. Nécessairementγ= 0.
On a alorsα+ 2nπβ= 0pour toutn∈N.
Pourn= 0, puisn= 1on obtient successivementα=β= 0.
Finalement(f0 f1 f2)est une famille libre. C’est donc une base deEetdimE= 3

Exercice 2 :[énoncé]
Eest un sous-espace vectoriel deRN.
Pour tout06i6p−1, on noteuila suite définie par
ui(n) =10nissinon=i[p]

La famille(u0     up−1)est une base deEet par suitedimE=p.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Supposonsλ0f0+∙ ∙ ∙+λnfn= 0. On a∀x∈R:λ0+λ1x+∙ ∙ ∙+λnx
Siλn6= 0alorsλ0+λ1x+∙ ∙ ∙+λnxn−−−−→±∞c’est absurde.
x→+∞
Nécessairementλn= 0puis de mmeλn−1= =λ0= 0.

Finalement(f0     fn)est libre.
b) Par suiten+ 16dimEpour toutn∈N, doncdimE= +∞

n= 0.

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