Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Image et noyau d'un endomorphisme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Image et noyau d’un endomorphisme Exercice 6 [ 01754 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E vérifiant f◦g = Id; montrer que kerf = ker(g◦f), Img = Im(g◦f) puis que kerf et Img sontExercice 1 [ 01712 ] [correction] supplémentaires.Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E. Montrer que g◦f = 0 si, et seulement si, Imf⊂ kerg. Exercice 7 CCP MP [ 03360 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E surR ouC vérifiant Exercice 2 [ 01713 ] [correction] f◦g = Id. Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E. a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img. a) Comparer kerf∩kerg et ker(f +g). b) Montrer b) Imf +Img et Im(f +g). E = kerf⊕Img2c) Comparer kerf et kerf . −12d) Imf et Imf . c) Dans quel cas peut-on conclure g =f ? d) Calculer (g◦f)◦(g◦f) et caractériser g◦f Exercice 3 [ 01714 ] [correction] Exercice 8 [ 01717 ] [correction]Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E. Montrer 2 Soient f,g∈L(E) tels quea) Imf∩kerf ={0 }⇔ kerf = kerf .E 2b) E = Imf +kerf⇔ Imf = Imf . g◦f◦g =g et f◦g◦f =f a) Montrer que Imf et kerg sont supplémentaires dans E. Exercice 4 [ 01715 ] [correction] b) Justifier que f(Img) = Imf. Soient E unK-espace vectoriel et f∈L(E) tel que 2 f −3f +2Id = 0 a) Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Image et noyau d’un endomorphisme

Exercice 1[ 01712 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.
Montrer queg◦f= 0si, et seulement si, Imf⊂kerg.

Exercice 2[ 01713 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.
a) Comparerkerf∩kergetker(f+g).
b) Comparer Imf+Imget Im(f+g).
c) Comparerkerfetkerf2.
d) Comparer Imfet Imf2.

Exercice 3[ 01714 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielE. Montrer
a) Imf∩kerf={0E} ⇔kerf= kerf2.
b)E=Imf+ kerf⇔Imf=Imf2.

Exercice 4[ 01715 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etf∈ L(E)tel que

f2−3f+ 2Id= 0

a) Montrer quefet exprimer son inverse en fonction deest inversible f.
b) Etablir queker(f−Id)etker(f−2Id)sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires deE.

Exercice 5[ 01716 ][correction]
Soientf g h∈ L(E)tels que

f◦g=h,g◦h=feth◦f=g

a) Montrer quef g hont mme noyau et mme image.
b) Montrerf5=f.
c) En déduire que l’image et le noyau defsont supplémentaires dansE.

Enoncés

1

Exercice 6[ 01754 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielEvérifiantf◦g=Id ;
montrer quekerf= ker(g◦f), Img=Im(g◦f)puis quekerfet Imgsont
supplémentaires.

Exercice 7CCP MP[ 03360 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEsurRouCvérifiant
f◦g=Id.
a) Montrer queker(g◦f) = kerfet Im(g◦f) =Img.
b) Montrer
E= kerf⊕Img
c) Dans quel cas peut-on conclureg=f−1?
d) Calculer(g◦f)◦(g◦f)et caractériserg◦f

Exercice 8[ 01717 ][correction]
Soientf g∈ L(E)tels que

g◦f◦g=getf◦g◦f=f

a) Montrer que Imfetkergsont supplémentaires dansE.
b) Justifier quef(Img) =Imf.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Si Imf⊂kergalors∀x∈E,f(x)∈Imf⊂kergdoncg(f(x)) =o~. Ainsig◦f= 0.
Sig◦f= 0alors∀x∈E,g(f(x)) = 0doncf(x)∈kerg. Ainsi
∀x∈E f(x)∈kergdonc Imf⊂kerg.

Exercice 2 :[énoncé]
a)∀~x∈kerf∩kergon(f+g)(x~) =f(x~) +g(~x) =~o. Ainsi
kerf∩kerg⊂kerf+g.
b)∀y~∈Im(f+g),∃x~∈E,y~= (f+g)(~x) =f(x~) +g(x~)∈Imf+Img. Ainsi
Imf+g⊂Imf+Img.
c)∀x~∈kerf,f2(x~) =f(f(x~)) =f(o~) =o~doncx~∈kerf2. Ainsikerf⊂kerf2.
d)∀~y∈Imf2,∃~x∈E,y~=f2(x~) =f(f(~x)) =f(u~)avecu~=f(x~)donc~y∈Imf.
Ainsi Imf2⊂Imf.

Exercice 3 :[énoncé]
a)(⇒)Supposons Imf∩kerf={0E}.
L’inclusionkerf⊂kerf2est toujours vraie indépendamment de l’hypothèse.
Soitx∈kerf2, on af2(x) =f(f(x)) = 0Edoncf(x)∈kerf.
De plusf(x)∈Imfor par hypothèse Imf∩kerf={0E}doncf(x) = 0Epuis
x∈kerf. Ainsikerf2⊂kerfpuis l’égalité.
(⇐)Supposonskerf= kerf2.
Soity∈Imf∩kerf. On peut écrirey=f(x)avecx∈E. Orf(y) = 0Edonc
f2(x) = 0E. Ainsix∈kerf2= kerfet par suitey=f(x) = 0E. Finalement
Imf∩kerf={0E}.
b)(⇒)SupposonsE=Imf+ kerf.
L’inclusion Imf2⊂Imfest vraie indépendamment de l’hypothèse.
Soity∈Imf. Il existex∈Etel quey=f(x). Or on peut écrirex=u+vavec
u∈Imfetv∈kerf.
Puisqueu∈Imf, on peut écrireu=f(a)aveca∈E. On a alors
y=f(f(a) +v) =f2(a) +f(v) =f2(a)∈Imf2. Ainsi Imf⊂Imf2puis l’égalité.
(⇐)Supposons Imf=Imf2. L’inclusion Imf+ kerf⊂Eest toujours vraie.
Inversement, soitx∈E.f(x)∈Imf=Imf2donc il existea∈Etel que
f(x) =f2(a).
Posonsu=f(a)etv=x−u.
Clairementx=u+v,u∈Imf. De plusf(v) =f(x)−f(u) =f(x)−f2(a) = 0
doncv∈kerf.
FinalementE=Imf+ kerf.

2

Exercice 4 :[énoncé]
a) Posonsg=21(3Id−f)∈ L(E). On af◦g=32f−1f2=Id et de mme
2
g◦f=Id doncfest un automorphisme etf−1=g.
b) En tant que noyaux d’applications linéaires,ker(f−Id)etker(f−2Id)sont
des sous-espaces vectoriels deE.
Soitx~∈ker(f−Id)∩ker(f−2Id). On af(x~) =x~etf(x~) = 2x~donc~x=~o. Ainsi
ker(f−Id)∩ker(f−2Id) ={~o}.
Soitx~∈E. Posonsu~= 2x~−f(x~)et~v=f(~x)−~x.
On a~u+v~=x,f(u~) = 2f(~x)−f2(~x) = 2~x−f(~x) =u~doncu~∈ker(f−Id)et
f(~v) =f2(x~)−f(x~) = 2f(x~)−2x~= 2v~donc~v∈ker(f−2Id). Ainsi
E= ker(f−Id) + ker(f−2Id).
Finalement,ker(f−Id)etker(f−2Id)sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires deE.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Soitx∈kerh. Ong◦h(x) = 0doncx∈kerf. Ainsikerh⊂kerf.
De mmekerf⊂kergetkerg⊂kerhd’où l’égalité des noyaux.
Soity∈Imh, il existex∈Etel queh(x) =y. Mais alorsf(g(x)) =ydonc
y∈Imf.
Ainsi Imh⊂Imfet de mme Imf⊂Imget Img⊂Imhd’où l’égalité des images.
b) On remarque
2
f2= (g◦h)◦f=g◦(h◦f) =g

et

On a alors

f2=f◦(g◦h) = (f◦g)◦h=h2

f=g◦h=g◦(f◦g) =g◦(g◦h)◦(h◦f) =g2◦h2◦f=f5

c) Six∈Imf∩kerfalors il existea∈Etel quex=f(a)et on af(x) = 0. On a
donc
x=f(a) =f5(a) =f4(x) = 0

Ainsi
Imf∩kerf={0}
Par une éventuelle analyse-synthèse, on remarque que pour toutx∈E, on peut
écrire
x=f4(x) +x−f4(x)

avec

f4(x)∈Imfetx−f4(x)∈kerf

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Ainsi

Imf+ kerf=E

Finalement les espaces Imfetkerfsont supplémentaires dansE.

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
On a toujourskerf⊂ker(g◦f).
Inversement, pourx∈ker(g◦f), on ag◦f(x) = 0doncf◦g◦f(x) =f(0) = 0.
Orf◦g=Id doncf(x) = 0.
Ainsiker(g◦f)⊂kerfpuisker(g◦f) = kerf.
On a toujours Im(g◦f)⊂Img.
Inversement, poury∈Img, il existex∈Etel quey=g(x)et alors
y=g◦f◦g(x) = (g◦f)(g(x))∈Im(g◦f).
Ainsi Img⊂Im(g◦f)puis Im(g◦f) =Img
Soitx∈kerf∩Img. Il existea∈Etel quex=g(a)et alorsf(x) = 0donne
f(g(a)) = 0d’oùa= 0carf◦g=Id. On en déduitx=g(a) = 0et donc
kerf∩Img={0}.
Soitx∈E. On peut écrirex= (x−g(f(x))) +g(f(x))avecg(f(x))∈Imget
x−g(f(x))∈kerfcar

f(x−g(f(x))) =f(x)−(f◦g)(f(x)) =f(x)−f(x) = 0

AinsiE= kerf+Imget finalementkerfet Imgsont supplémentaires dansE.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Evidemmentkerf⊂ker(g◦f)et Im(g◦f)⊂Img.
Pourx∈ker(g◦f), on af(x) =f(g(f(x)) =f(0) = 0doncx∈kerf.
Poury∈Img, il existex∈Etel quey=g(x)et alors
y=g(f(g(x)) =g(f(a))∈Im(g◦f).
b) Six∈kerf∩Imgalors on peut écrirex=g(a)et puisquef(x) = 0,
a=f(g(a)) = 0doncx= 0.
Pourx∈E, on peut écrirex= (x−g(f(x)) +g(f(x))avecx−g(f(x))∈kerfet
g(f(x))∈Img.
c) Sifest inversible alorsf◦g=Id entraîneg=f−1
.
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
d)(g◦f)◦(g◦f) =g◦(f◦g)◦f=g◦fet doncg◦fest un projecteur.

Exercice 8 :[énoncé]
a) Soitx∈Imf∩kerg.

Il existea∈Etel quex=f(a)donc

x=f(a) = (f◦g◦f)(a) = (f◦g)(x) = 0

Soitx∈E.
Analyse :
Supposonsx=u+vavecu=f(a)∈Imfetv∈kerg.
g(x) =g◦f(a)donc(f◦g)(x) =f(a) =u.
Synthèse :
Posonsu= (f◦g)(x)etv=x−u.
On au∈Imf,x=u+vetg(v) =g(x)−g(u) = 0i.e.v∈kerg.
b) On af(Img)⊂Imfet pour touty∈Imfon peut écrirey=f(x)avec
x=g(a) +uetu∈kerf.
On a alorsy=f(g(a))∈f(Img).

3

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