Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Transformations vectorielles

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Transformations vectorielles Exercice 6 [ 01724 ] [correction] 2 ˜Soit f∈L(E) tel que f −4f +3I = 0. Montrer que ker(f−Id)⊕ker(f−3Id) =E.Exercice 1 [ 01718 ] [correction] Quelle transformation vectorielle réalise f ?Soient E unK-espace vectoriel et p∈L(E). a) Montrer que p est un projecteur si, et seulement si, Id−p l’est. b) Exprimer alors Im(Id−p) et ker(Id−p) en fonction de Imp et kerp. Exercice 7 [ 01725 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel et p un projecteur de E. On pose q = Id−p et on considère Exercice 2 [ 01719 ] [correction] L ={f∈L(E)|∃u∈L(E),f =u◦p} et M ={g∈L(E)|∃v∈L(E),g =v◦q}. Soient p,q∈L(E). Montrer l’équivalence entre les assertions : Montrer que L et M sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deL(E). (i) p◦q =p et q◦p =q; (ii) p et q sont des projecteurs de même noyau. Exercice 3 [ 01720 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel et p,q deux projecteurs de E qui commutent. Montrer que p◦q est un projecteur de E. En déterminer noyau et image. Exercice 4 [ 01722 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E tels que f◦g =g◦f. a) Montrer que kerf et Imf sont stables par g i.e. g(kerf)⊂ kerf et g(Imf)⊂ Imf b) En déduire que, si p est un projecteur de E, on a : p et f commutent si, et seulement si, Imp et kerp stables par f. Exercice 5 [ 01723 ] [correction] Soit E unK-espace vectoriel. 2Soit s un endomorphisme de E involutif, i.e.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Transformations vectorielles

Exercice 1[ 01718 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etp∈ L(E).
a) Montrer quepest un projecteur si, et seulement si, Id−pl’est.
b) Exprimer alors Im(Id−p)etker(Id−p)en fonction de Impetkerp.

Exercice 2[ 01719 ][correction]
Soientp q∈ L(E). Montrer l’équivalence entre les assertions :
(i)p◦q=petq◦p=q;
(ii)petqsont des projecteurs de mme noyau.

Exercice 3[ 01720 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etp qdeux projecteurs deEqui commutent.
Montrer quep◦qest un projecteur deE. En déterminer noyau et image.

Exercice 4[ 01722 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etfetgdeux endomorphismes deEtels que
f◦g=g◦f.
a) Montrer quekerfet Imfsont stables pargi.e.g(kerf)⊂kerfet
g(Imf)⊂Imf
b) En déduire que, sipest un projecteur deE, on a :
petfcommutent si, et seulement si, Impetkerpstables parf.

Enoncés

Exercice 5[ 01723 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel.
Soitsun endomorphisme deEinvolutif, i.e. tel ques2=Id.
On poseF= ker(s−Id)etG= ker(s+Id).
a) Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deE.
b) Montrer quesla symétrie vectorielle par rapport àest Fet parallèlement àG.
Plus généralement, Soientα∈K\ {1}etfun endomorphisme deEtel que
f2−(α+ 1)f+αId= 0.
On poseF= ker(f−Id)etG= ker(f−αId).
c) Montrer queFetGsont supplémentaires dansE.
d) Montrer quefest l’affinité par rapport àF, parallèlement àGet de rapportα.

Exercice 6[ 01724 ][correction]
24f+ ˜
Soitf∈ L(E)tel quef−3I= 0.
Montrer queker(f−Id)⊕ker(f−3Id) =E
.
Quelle transformation vectorielle réalisef?

1

Exercice 7[ 01725 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etpun projecteur deE. On poseq=Id−pet on
considère
L={f∈ L(E)| ∃u∈ L(E) f=u◦p}etM={g∈ L(E)| ∃v∈ L(E) g=v◦q}.
Montrer queLetMsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deL(E).

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
2
a)(Id−p)2=Id−2p+p2donc(Id−p)2= (Id−p)⇔p=p.
˜
b)p◦(Id−p) = 0donc Im(Id−p)⊂kerp.
Inversement,∀x~∈kerp, on a(Id−p)(x~) =x~−p(x~) =~xdonc~x∈Im(Id−p).
Ainsikerp⊂Im(Id−p).
Finalementkerp=Im(Id−p)et de mmeker(Id−p) =Imp.

Exercice 2 :[énoncé]
(i)⇒(ii) Supposons (i)
p2=p◦q◦p=p◦q=petq2=q◦p◦q=q◦p=qdoncpetqsont des
projecteurs.
Soit~x∈kerp. On aq(~x) =q(p(~x)) =o~donc~x∈kerq. Ainsikerp⊂kerq. Par
symétrie l’égalité.
(ii)⇒(i) Supposons (ii)
Soitx~∈E. On peut écrirex~=~u+~vavecu~∈Imqetv~∈kerq= kerp.
D’une part(p◦q)(~x) =p(q(~u)) +p(o~) =p(~u)et d’autre part
p(x~) =p(u~) +p(~v) =p(~u).
Ainsip◦q=pet de mmeq◦p=q.

Exercice 3 :[énoncé]
(p◦q)2=p◦q◦p◦q=p2◦q2=p◦qdoncp◦qest un projecteur.
∀x~∈kerp+ kerq∃(~vu~)∈kerp×kerqtel que~x=u~+~v.
(p◦q)(~x) = (p◦q)(~u) + (p◦q)(~v) = (q◦p)(u~) + (p◦q)(~v) =~odonc~x∈kerp◦q.
Ainsikerp+ kerq⊂kerp◦q.
Inversement, soitx~∈kerp◦q. On peut écrirex~=~u+v~avecu~∈kerpet~v∈Imp.
(p◦q)(~x) = (q◦p)(~x) =q(v~) =o~doncv~∈kerq. Par suite~x∈kerp+ kerq.
Par double inclusion :kerp◦q= kerp+ kerq
∀y~∈Imp◦q∃~x∈E~y= (p◦q)(x~). On a~y=p(q(x~))∈Impety~=q(p(~x))∈Imq
doncy~∈Imp∩Imq. Ainsi Imp◦q⊂Imp∩Imq.
Inversement,∀~y∈Imp∩Imq∃x~∈E~y=q(~x)ety~=p(~y) = (p◦q)(x~)∈Imp◦q.
Ainsi Imp∩Imq⊂Imp◦qpuis l’égalité.

Exercice 4 :[énoncé]
a)∀x~∈kerf,f(g(~x)) =g(f(x~)) =g(o) =o~doncg(x~)∈kerf. Ainsikerfest
~
stable parg.
∀~y∈Imf∃~x∈E~y=f(x~)et alorsg(~y) =g(f(~x)) =f(g(~x))∈Imfdonc Imfest
stable parg.

b)(⇒)immédiat via a).
(⇐)Si Impetkerpsont stables parfalors, puisque ces derniers sont
supplémentaires dansE,∀~x∈E, on peut écrire~x=~u+v~avecu~∈Impet
~v∈kerp.
On a alors(f◦p)(x~) =f(p(u~) +p(v~)) =f(~u)et
p◦f(~x) =p(f(~u)) +p(f(~v)) =f(u~)carf(~u)∈Impetf(~v)∈kerp. Ainsi
∀x~∈E(f◦p)(x~) = (p◦f)(x~)puispetfcommutent.

Exercice 5 :[énoncé]
a)FetGsont des sous-espaces vectoriels car noyaux d’endomorphismes.
Soitx~∈F∩G. On as(x~) =x~ets(~x) =−~xdonc~x=o~. AinsiF∩G={o}.
~
x
Soit~∈E. Posons~u=12(~x+s(~x))etv~=21(x~−s(x~)).
On ax=u+v~,s(~u) =u~doncu~∈Fets(~v) =−~vdonc~v∈G.
~ ~
AinsiF+G=E.FetGsont donc supplémentaires dansE.
b)∀~x∈E,∃!(uv~~)∈F×Gtel quex~=~u+v~.
On as(x~) =s(u~) +s(~v) =~u−~vdoncxest la symétrie par rapport àF
parallèlement àG.
c)FetGsont des sous-espaces vectoriels car noyaux d’endomorphismes.
Soit~x∈F∩G. On af(x~) =x~etf(x~) =α~xdonc~x=o~. AinsiF∩G={o~}.
Soit~x∈E. Posons~u=1−1α(f(x~)−~xα)etv~=1−1α(x~−f(x~)).
On a~x=~u+~v,f(~u) =~udoncu~∈Fetf(~v) =α~vdonc~v∈G.
AinsiF+G=E.FetGsont donc supplémentaires dansE.
d)∀x~∈E,∃!(u~~v)∈F×Gtel que~x=~u+v.
~
On af(x~) =f(u~) +f(~v) =~u+α~vdoncfest l’affinité par rapport àF
parallèlement àGet de rapportα.

Exercice 6 :[énoncé]
Soit~x∈ker(f−Id)∩ker(f−3Id). On af(x~) =x~etf(~x) = 3x~doncx~=o.
~
Soit~x∈E. Posonsu~=21(3x~−f(x~))etv~=12(f(x~)−x~).
On ax~=u~+v~avecu~∈ker(f−Id)et~v∈ker(f−3Id)après calculs.
fest l’affinité vectorielle par rapport àF= ker(f−Id), parallèlement à
G= ker(f−3Id)et de rapport 3.

Exercice 7 :[énoncé]
ϕ:u7→u◦pest un endomorphisme deL(E)doncL=Imϕest un sous-espace
vectoriel deL(E).
ψ:v7→v◦qest un endomorphisme deL(E)doncM=Imψest un sous-espace
vectoriel deL(E).
Soitf∈L∩M. Il existeu v∈ L(E)tels quef=u◦p=v◦q.

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Corrections

On af◦p=u◦p2=u◦p=fetf◦p=v◦q◦p= 0carq◦p= 0doncf= 0.
AinsiL∩M={0}.
Soitf∈ L(E). On af=f◦Id=f◦(p+q) =f◦p+f◦q∈L+M. Ainsi
L(E) =L+M.
FinalementLetMsont supplémentaires dansL(E).

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