Sujet : Algèbre générale, Convolution de suites réelles

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Structures algébriques. Suites numériques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Convolution de suites réelles

=ℝℕdésigne l’ensemble des suites réelles.
Pour∈, on note() au lieu dele terme d’indicede la suite.
Pour,∈, on appelle somme des suiteset, la suite+∈définie par :
∀∈ℕ, (+)()=()+() .
On sait que la loi de composition interne+surainsi définie munitd’une structure de groupe commutatif
d’élément nul égal à la suite nulle notée 0 .
Pour,∈, on appelle convolé de la suitepar la suite, la suite⊻∈définie par :


∀∈ℕ, (⊻)()=∑()(−) .
=0
La loi de composition interne⊻surainsi définie est appelée produit de convolution de suites réelles.

1.a

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

2.c

3.

3.a

3.b

4.

4.a
4.b
4.c

Montrer que⊻est commutative et associative.

On noteεla suite réelle définie parε(0)=1 et∀∈ℕ∗,ε()=0 .
Etablir queεest élément neutre pour⊻.
Montrer que⊻est distributive sur+.

Que dire de la structure (,+,⊻) ?

Soitρ∈ℝetla suite réelle définie par∀∈ℕ,()=ρ.
Montrer que l’élémentest inversible et déterminer son inverse.
On note=ℝ(ℕ)l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.
Montrer que (est un sous-anneau de l’anneau,+,⊻) .

Soit:→définie par :∀∈, la suite()∈est donnée par∀∈ℕ,() ()=(−1)() .
Montrer que (est un automorphisme involutif de l’anneau,+,⊻) .
On se propose maintenant de déterminer les éléments inversibles de l’anneau (,+,⊻) .

Soit (un élément inversible de l’anneau,+,⊻) . Montrer que(0)≠0 .
Inversement soit∈, tel que(0)≠0 . Montrer queest inversible.
On se propose maintenant de justifier l’intégrité de l’anneau (,+,⊻) .

Soit,∈tels que≠0 et≠0 .
On pose=min{∈ℕ/()≠0}et=min{∈ℕ
Justifier l’existence deet.
Montrer que (⊻)(+)≠0 .
Conclure.

/()≠0}.