Sujet : Algèbre générale, Dérivation dans un anneau
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Exrait

Dérivation dans un anneau

Les parties I et II sont totalement indépendantes.
Soit (,+,× anneau (qui n’est pas a priori supposé commutatif)) un
On note 0 et 1 les éléments neutres additif et multiplicatif de.
Une applicationδ:→est appelée dérivation sursi et seulement si, pour tout,∈on a les relations :
(1)δ(+)=δ()+δ()
(2)δ()=δ()+δ()

Partie I Crochet de Lie et exemple de dérivation

Pour,∈, on pose,=−.

1.

2.

2.a

2.b

2.c

3.

Que vaut,lorsqueetcommutent ?
On revient au cas général et on se donne,,dans.
Former une relation liant,et,.
Etablir que,+=,+,.

Justifier,,+,,+,,=0 .
Cette dernière relation est connue sous le non d’identité de Jacobi.
Pour∈, on considère:→l’application définie par()=−.
Montrer queest une dérivation sur.

Partie II Propriétés des dérivations

Soitδune dérivation quelconque sur.
1. En exploitant les relations (1) et (2) calculerδ(0) etδ(1) .

2.
2.a
2.b

3.
3.a

3.b

4.
4.a

4.b

1.

1.a

1.b

Soit (un élément de l’anneau,+,×) .
Exprimerδ(− fonction de) enδ() .
On suppose queest inversible.
Exprimerδ(−1 fonction de) enδ( de) et−1.
On se donne∈ℕ∗.
Soit1,2,…,une liste d’éléments de.
Exprimerδ(12... fonction des) enet desδ() .
Soit∈. Exprimerδ() .
Que devient cette formule sietδ() commutent ?
Soitδ= {∈/δ()=0}.
Montrer queδ (est un sous-anneau de,+,×) .
Montrer que, si (,+,× un corps, alors) estδest un sous-corps de (,+,×) .

Partie III Manipulation de dérivations

Dans cette questionδ1,δ2désignent deux dérivations sur.
Pensez-vous que l’applicationδ1+δ2est une dérivation ?
Pensez-vous que l’applicationδ1δ2est une dérivation ?

1.c

2.

2.a

2.b

On noteδ1,δ2=δ1
Montrer queδ1,δ2

δ2−δ2δ1
est une dérivation sur.

Soitδune dérivation suret,deux éléments de.

Montrer queδ,

Montrer que,

=δ().

=[,].

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