Sujet : Algèbre générale, Numérotation des nombres rationnels

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Ensembles et applications.

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Numérotation des nombres rationnels

Un ensembleest dit dénombrable si et seulement si il existe une bijection entre l’ensembleℕdes entiers
naturels et. Cette bijection permet alors de numéroter les éléments de.

2.a

2.b

2.c

Partie I

Montrer que les ensemblesℕ∗et= {2/∈ℕ}sont dénombrables.
Dans cette question, on désire établir queℤest dénombrable.
Pour cela on introduit l’applicationϕ:ℕ→ℤdéfinie par :

ϕ()=2 siest pair etϕ()= −(+1) 2 siest impair.
Calculerϕ() pourallant de 0 à 5.

Montrer que l’applicationϕest bien définie.

Etablir queϕest bijective.

Dans cette question, on désire établir queℕ2est dénombrable.
Pour cela on introduit l’applicationϕ:ℕ2→ℕ∗définie par :
ϕ(,)=2(2+1)

3.a Montrer queϕest bien définie et qu’elle est injective.
3.b En observant, pour tout∈ℕ∗, l’existence d’une plus grande puissance de 2 divisant, établir queϕ
est surjective.
3.c Conclure queℕ2est dénombrable et qu’il en est de même deℤ2.
4. Dans cette question, on désire établir queℚest dénombrable.
4.a Exhiber une injection deℕdansℚ.
4.b On appelle représentant irréductible d’un nombre rationnell’unique fraction irréductible égale à
avec∈ℤet∈ℕ∗.
Observer que l’applicationϕ:ℚ→ℤ×ℕ∗qui à∈ℚ (associe le couple,)∈ℤ×ℕ∗avec le
représentant irréductible est injective. Est-elle surjective ?
4.c Former une injection deℚdansℕ.
On peut alors conclure queℚest dénombrable à l’aide du théorème de Cantor-Bernstein dont la démonstration
est l’objet de la partie suivante.

Partie II

On veut démontrer le résultat suivant :
« Etant donnés deux ensembleset, s’il existe une injection dedanset une injection de
dansalors il existe une bijection entreet. »
Supposons que:→et:→soient deux applications injectives.
On forme=:→et on note=(Im) .
1. On forme= {∈() /⊂et()⊂}.
1.a Observer que l’ensembleest non vide.
1.b Soit∈. Montrer que()⊂( que) et(())⊂() .
En déduire que∪()∈.
2. On forme=∩. On remarque queest inclus dans tout ensembleappartenant à.
∈
2.a Montrer que∈.
2.b En exploitant II.1.b, établir que⊂∪( que) puis=∪() .

2.c

3.a

3.b

Montrer que−1()=() .

On pose=′() ,=et′=−1() .
On considère ensuite les applications′:→′et′:→′induites paret.
Observer que′et′sont bijectives.
Montrer que′=′
On introduit enfin l’applicationϕ:→définie par :

Montrer queϕest bijective.

ϕ(

)=′′(−1)(i s s)in∈on.

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