Sujet : Algèbre générale, Répartition des puissances d
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Sujet : Algèbre générale, Répartition des puissances d'un complexe de module 1

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Répartition des puissances d’un complexe de module 1

On notel’ensemble des nombres complexes de module 1.
On notel’ensemble des racinesèmede l’unité (pour∈ℕ∗).
On note(,′)=′−la distance entre deux complexeset′.
Pour∈ℂ∗, on note :
· arg( du complexe) l’argument 2 défini àπprès.
· rg() l’unique argument de 2 0,qui appartient àπ(appelé argument principal de).

On se donneθ∈0, 2π, et on considère l’ensemble= {/∈ℤ}avec=eθ.
L’objectif de ce problème est l’étude de cet ensemble.
1. Soitα,β∈ℝ. Déterminer(eα, eβ) .
era la solution sans radicaux etβ−α
On exprim en fonction de 2 .

2.

2.a

2.b

2.c

On supposeθ π∈ℚet on forme={∈ℕ∗/=1}.

Montrer quepossède un plus petit élément. Notonscelui-ci.

  à deux distincts. x
Etablir que les0,...,−1sont deu

Montrer que=.

Dans toute la suite du problème, on supposeθ π∉ℚ.

3.

4.

4.a

4.b

Montrer que lessont deux à deux distincts.

Soit∈etε>0 .
On désire établir l’existence d’un∈ℤtel que(,)≤ε.
ℕ 2de sorπ≤ε.
te que
On se donne∈\{0,1}
 
On introd r to∈…−=∈ π≤ <+1)π.
uit, pou ut{0,1, , 1},/ 2rg( ) 2 (

Etablir que la famille ()0≤≤−1forme une partition de.

Montrer que parmi les0,…,moins se trouvent dans un mêmedeux éléments au .

=
On noteetleurs indices respectifs et on poseϕ=rg() etψrg() .

Quitte à échangereton peut supposerϕ<ψet on a par constructionψ−ϕ∈]0,2π] .

4.c

4.d

4.e

Etablirrg(−)=ψ−ϕ.

On noteα=rg() et on considèrele plus grand entier tel que(ψ−ϕ
Montrer que(,( )) 2sinψ−2ϕ
−≤.

Etablir∀

≥0,sin()≤, et conclure.

)≤α.