Sujet : Algèbre linéaire, Calculs de déterminants
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Langue Français

Exrait

Calculs de déterminants

Dans tout le problème,,désignent des réels etun entier supérieur à 1.

Partie I

Soitle déterminant de la matrice carrée d’ordreformée de la manière suivante :
les éléments de la diagonale principale sont égaux à, ceux au dessus de la cette diagonale valentet
enfin ceux en dessous de la diagonale valent.
 =, =  .
insi :1 23
A =et  
  

1.
2.a
2.b
3.
3.a

3.b

Calculer1,2et3.
Calculerdans les cas=et=.
Calculerdans le cas où=.
On suppose≠et≥3 .
Etablir que−(2−−)−1+(−)(−)−2=0 .
On pourra par exemple opérer avec les deux dernières colonnes puis faire la même manipulation sur les
lignes.
Donner l’expression du terme général de la suite ()≥1.

Partie II

Dans cette partie1,…,désignentréels. On désire calculer le déterminantde la matrice carrée d’ordre
formée de la manière suivante :

Les coefficients diagonaux sont les1,…,, les coefficients au dessus de la diagonale sont égaux àtandis
que ceux en dessous de la diagonale valent.
Ainsi1=1,2=1et312.
=
2  3
1. Dans un premier temps, nous supposons≠.
On pose() , le déterminant de la matrice obtenue en ajoutantà tous les coefficients de la matrice
définissant.
1+ +⋯+
Ainsi()=⋮+ 2⋱+⋱⋱⋮+.
+⋯+ +

1.a Montrer que֏() est une fonction affine, c'est-à-dire qu’il existeα,β∈ℝtel que pour tout
∈ℝ,()=α+β.
1.b Calculerαetβen évaluant() pour des valeurs judicieuses de.
1.c En déduire l’expression de.
2. On désire calculerdans le cas où=.
2.a On fixe le paramètreet on fait varier le paramètredansℝ. Etablir queapparaît alors comme
une fonction continue de la variablevariant dansℝ.
2.b En déduire la valeur dedans le cas où=.

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