Sujet : Algèbre linéaire, Coeur et nilespace d'un endomorphisme

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels et applications linéaires.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 87
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Cœur et nilespace d’un endomorphisme

Notations et rappels

Soitunℝ-espace vectoriel etun endomorphisme de.
Un sous-espace vectorieldeest dit stable parlorsque pour tout∈, on a()∈.
Lorsque qu’un sous-espace vectorielest stable par, on peut considérer la restriction deànotée
|:→. Il est clair que|est un endomorphisme de.
Pour∈ℕ,désigne l’endomorphisme définit par récurrence par :
0=Id et pour tout∈ℕ,+1=(où Id désigne l’endomorphisme identité de).

1. Pour∈ℕ, on note=Imet=ker.
1.a Par quel argument simple peut-on affirmer queetsont des sous-espaces vectoriels de?
1.b Montrer que les suites de sous-espaces vectoriels () et () sont respectivement décroissante et
croissante pour l’inclusion.
2. On pose=∩et∪.
=
∈ℕ∈ℕ
2.a Etablir queetsont des sous-espaces vectoriels de.
2.b Montrer queetsont stables par.
2.c Détermineretlorsqueest un automorphisme de.
3. Dans cette question, on suppose qu’il existe∈ℕtel que+1=.
3.a Etablir que pour tout∈ℕ,+=.
3.b Justifier de l’existence d’un plus petit entier∈ℕtel que+1=.
Celui-ci sera désormais noté() .
A quel terme de la suite () est égal?
3.c Observer=+().
4. Dans cette question, on suppose qu’il existe∈ℕtel que+1=.
4.a Etablir que pour tout∈ℕ, =.
+
4.b Justifier l’existence d’un plus petit entier∈ℕtel que+1=.
Celui-ci sera désormais noté() .
A quel terme de la suite ( égal) est?
4.c Observer()∩= {}.

5.a

5.b

6.

6.a
6.b
6.c

On suppose qu’il existe un entiertel que=+1et+1=+2.
Montrer que=1
+.
On suppose qu’il existe un entiertel que=+1et+1=+2.
Montrer que=+1.
On dit que l’endomorphismeest de caractère fini lorsqu’il existe un entieret un entiertel que
=+1et=+1. On suppose queest de caractère fini.
Montrer que()=() .
Etablir queetsont supplémentaires dans.
Montrer que les restrictions deàetsont respectivement bijectives et nilpotentes.