Sujet : Algèbre linéaire, Convolution arithmétique
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Convolution arithmétique
On noteFl’ensemble des fonctions deℕ∗versℝ. On munitFd’une loi additive définie par :
∀,∈F,∀∈ℕ∗, (+)()=()+() .
Pour tout∈ℕ∗, on note :
· l’ensemble des∈ℕ∗tels que|.
· l’ensemble des (1,2)∈(ℕ∗)2tels que12=.
On définit une seconde loi⊻surFpar :
∀,∈F,∀∈ℕ∗, (⊻)()=∑()( ) .
∈
Par abus, on pourra aussi noter :
(⊻)()=∑()( ) .
|
Partie I : Etude de structure
1. Justifier que pour tout,∈Fon a :
∀∈ℕ∗, (⊻)()=∑(1)(2) .
(1,2)∈
Quelle propriété de la loi⊻découle de manière immédiate de cette relation.
2. Montrer que la loi⊻est associative.
3. Montrer que la loi⊻admet un élément neutreεque l’on précisera.
4. La structure (F,+,⊻) est-elle un anneau ?
Partie II : Fonctions multiplicatives
Une fonctiondeFest dite multiplicative si et seulement si :
∀,∈ℕ∗,∧ =1⇒( )=( ) ( )
.
Par exemple les fonctionsθetψdeℕ∗versℝdéfinies par :θ()=1 etψ()=sont clairement
multiplicatives.
1. Pour tout∈ℕ∗, on noteω() le nombre de nombres premiers distincts intervenant dans la
décomposition primaire de. Montrer que l’application֏(−1)ω()est multiplicative.
2.
3.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
Soit∈Fune fonction multiplicative et∈ℕ∗connu par sa décomposition primaire=∏α(avec
=1
1,…,nombres premiers deux à deux distincts).
.
Exprimer( fonction des) en(α)
Soit,∈ℕ∗tels que∧=1 etπ:×→l’application définie parπ(1,2)=12.
Montrer que l’applicationπest bijective.
En déduire que si,∈Fsont multiplicatives alors⊻l’est aussi.
On poseδ=θ⊻θetσ=ψ⊻θ.
Que représentent les quantitésδ() etσ() ?
Soit∈ℕ∗connu par sa décomposition primaire=∏α(avec1,…,nombres premiers deux à
=1
deux distincts). Exprimerδ() etσ()
Partie III : Formule d’inversion de Möbius
On définit une fonctiondeFen posant pour tout∈ℕ∗:
()=0 siest divisible par le carré d’un nombre premier et
()=(−1) sis’écrit comme le produit denombres premiers deux à deux distincts.
1. Montrer que cette fonctionest multiplicative.
2. Soitun nombre premier.
Calculer (⊻θ)() et (⊻θ)(α) pourα∈ℕ∗.
En déduire queest l’inverse deθpour la loi⊻.
3. Soit,∈F. Etablir l’équivalence :
∀∈ℕ∗,()=∑()⇔ ∀∈ℕ∗,()=∑( )() .
| |
4. En déduire que pour tout∈Fet tout∈ℕ∗la relation :
()=∑ ∑( )()
| |
Partie IV : Fonction indicatrice d’Euler
Pour tout∈ℤet∈ℕ∗ (, on note)la classe dedansℤℤ.
1. Dans toute la suite du problème, on pose pour tout∈ℕ∗,
1.a
1.b
2.
2.a
2.b
2.c
3.
3.a
3.b
ϕ()=Card{∈1,/∧=1}.
Rappeler quels sont les éléments inversibles de l’anneauℤℤ.
Combien y en a-t-il ?
Soitun nombre premier. Calculerϕ() etϕ(α) pourα∈ℕ∗.
Soit∈ℕ∗tels que∧=1 .
,
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau(ℤℤ×(ℤℤ.
Combien y en a-t-il ?
Etablir que l’application:ℤℤ→ (ℤℤ×(ℤℤdéfinie par(()
isomorphisme d’anneaux.
En déduire queϕ()=ϕ()ϕ() .
Soit∈ℕ∗etdiviseurs positifs de.
Calculer le cardinal de l’ensemble{∈1,/ pgcd(,)=}.
En déduire la relation
∑ϕ()=.
|
Partie V : Calcul de quelques déterminants non triviaux
= ((), ()est un
Soit∈ℕOn souhaite calculer le déterminant de la matrice* .
=(,)∈(ℝ) définie par,=
1. On pose=(ℓ,)∈(ℝ matrice définie par) laℓ,=0 nis1 si|on
=(,)∈(ℝ) celle ( définie si ) |
par,=0ϕ sinon
et
1.a
1.b
Calculer detet det.
Etablir que= detet donner une expression de.
gcd(,) .
On souhaite maintenant calculer le déterminant de la matrice=((,))∈(ℝ) oùdésigne un élément
deFet,le pgcd de ci-dessus.et comme
2.
2.a
2.b
3.
On pose=(,)∈(ℝ) la matrice définie par,=0| ∑ ( )(s i nis ) |no
Calculer.
En déduire u e expression de det.
n
On note=( )∈(ℝ matrice définie par) la,=
,
Donner une expression de det.
pcm(,)
