Sujet : Algèbre linéaire, Endomorphismes cycliques

pages

Français

Documents

Écrit par
David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Publié par
algebre-mpsi

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

algebre-mpsi

Nombre de lectures

128

Licence :

En savoir +

Langue

Français

Appplications linéaires. Espaces vectoriels de dimension finie.

Voir

Publié par

algebre-mpsi

Nombre de lectures

128

Licence :

En savoir +

Langue

Français

Endomorphismes cycliques

Soitun espace vectoriel surℝ.
On note Id l’application identique de.
Pour tout endomorphismede, on note0=Id , et pour tout entier naturel,+1=.
Soit∈ℕ∗. On dit qu’un endomorphismedeest cyclique d’ordres’il existe un élémentde
vérifiant les trois conditions suivantes :
 
· ()
=
· (la famille,(),...,−1( génératrice de)) est
· (la famille,(),...,−1( constituée d’éléments deux à deux distincts.)) est
La famille (,(),...,−1( alors appelée cycle de)) est.

1.a
1.b

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

Partie I Exemples

Dans cette question=ℝ2.
On considère:ℝ2→ℝ2l’application définie par: (,)֏(−,) .
Montrer queest en endomorphisme deℝ2.

En considérant=(1, 0) , observer queest cyclique d’ordre, l’entierétant à préciser.

Dans cette question= le sous-espace vectoriel deVect(sin, cos) désigneℝℝengendré par les
fonctions sin et cos .
Déterminer la dimension de.
Soit∈−{0,1, 2}. Pour∈, on noteτ() l’application définie parτ() :֏(+2π) .
Montrer queτ()∈.
Montrer queτ:֏τ( un endomorphisme de) est.
On pose=sin . Exprimer, pour∈ℕ,τ() .
Observer que, pour,ℓ∈on aτ()=τℓ()⇒=ℓ[] .
Montrer queτest cyclique d’ordre.

Partie II Etude générale

Dans cette partiedésigne unℝ-espace vectoriel de dimension∈ℕ∗.
On considèreun endomorphisme decyclique d’ordre.
Soit (,(),...,−1()) un cycle de.
1. Montrer≥.
2.a Observer que, pour tout∈,(())=() .
2.b En déduire que=Id .
L’endomorphismeest-il bijectif ?
2.c Par quel argument rapide pourrait-on justifier que ker(−Id) et ker(Id++...+−1 des sous-) sont
espaces vectoriels de? Etablir qu’ils sont supplémentaires.
3. On notele plus grand des entiers naturelstels que la famille (,(),...,−1()) soit libre.
3.a Montrer que( combinaison linéaire des) estvecteurs,(),...,−1() .

3.b

3.c

4.a

4.b

4.c
4.d

Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel, supérieur ou égal à, le vecteur() est
combinaison linéaire desvecteurs,(),...,−1() .
En déduire que= (et que la famille,(),...,−1()) est une base de.

Soitun endomorphisme commutant aveci.e. tel que=.
 −
On noteα0,α1,...,α−1lesnombres réels tels que :()α0.+α1.()+...+α11() .
=
−
On considèrel’endomorphisme dedéfini par=α0.Id+α1.+...+α.1−1.
−

Montrer queetcommutent.
Montrer que∀∈ℕ,(())=(()) .

En déduire que=.
Quels sont les endomorphismes decommutant avec?

Voir