Sujet : Algèbre linéaire, Exponentielle de matrice

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Calcul matriciel.

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Exponentiellede matrice

On note(ℝ) l’anneau des matrices carrées réelles d’ordre∈ℕ∗.

Partie I

Soitun entier naturel non nul. Une matricede(ℝ) est 3 si dite nilpotente d’indice elle vérifie2≠0
et3=0 . Dans cette partie, on noteune matrice de(ℝ 3) , nilpotente d’indice On note .la matrice
unité d’ordre.

Pour tout réel, on note( matrice) la()=+.+22.2.
1. Vérifier la relation :∀(,)∈ℝ2,()()=(+) .
2. En déduire que (())=() pour∈ℝet∈ℕ.
3. Montrer que la matrice() est inversible. Quel est son inverse ?
4. Montrer que la famille (,,2) est libre dans l’espace vectoriel(ℝ) .
5. En déduire que l’application:֏() , deℝvers(ℝ) , est injective.
0 1 1
6. Dans cette question,=3 et= .0 0 1
0 0 0
Expliciter( la forme d’un tableau matriciel pour) sous∈ℝ.

Partie II

Dans cette partie, on note=(1,2) la base canonique duℝ-espace vectorielℝ2.
Soit la matrice=14−−anenà t ap rtpa612(ℝ) . On notel’endomorphisme deℝ2qui lui est
canoniquement associée.
1. Montrer que=ker(−2 Idℝ2) et=ker(−Idℝ2 deux droites vectorielles, supplémentaires) sont
dansℝ2. Préciser un vecteur directeurε1de, et un vecteur directeurε2de.
2. Sans calculs, déterminer la matrice de l’endomorphismedeℝ2dans la baseε=(ε1,ε2) .
3. En déduire qu’il existe une matrice nversible et une matricediagonale (toutes deux carrées d’ordre
i
2) telles que=−1.
Expliciter,et−1.
4. Expliciterpour toutentier naturel. Démontrer la relation=−1.
En déduire l’expression desous forme de tableau matriciel.

Partie III

On reprend les notations de la partie II.
On se propose dans cette partie de déterminer toutes les matrices∈2(ℝ de l’équation) solution2=.
1. Soit∈2(ℝ) , vérifiant2=.
Montrer que=et en déduire queest diagonale.
Quels peuvent être ses coefficients diagonaux ?
2. Soit∈2(ℝ) .En étudiant=−1, déterminer une écriture des matricessolutions de
l’équation2=. On ne demande pas de calculer explicitement les coefficients de.
3. On note1,…,les solutions de l’équation2=.
Sans calculer explicitement cessolutions, déterminer leur somme=1+⋯+et leur produit
=1….

Partie IV

On reprend les notations de la partie II.
1. En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout réel, on a :
e=l→i+m∞=∑0!
.

 
Pour tout réel, pour tout entier naturel, on note( matrice définie par) la()=∑!.
=0
On écrira cette matrice sous la forme()=(())(()).
 
Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficients(),(),(),() .
Pour tout∈ℝ, on note( matrice) la()=(())((e)cav ) ()l→i+m∞( ) =→+∞) ,
=  ), ( ( lim
etc. Expliciter() .
Réponse partielle : on obtient()=3e2−2e.
Montrer qu’il existe deux matriceset(carrées d’ordre deux) telles que :
∀∈ℝ,()=e2.+e..
Expliciteret.
Calculer les matrices2,2,et.
Que peut-on dire des endomorphismesetdeℝ2canoniquement associés aux matriceset?
On pourra préciser la réponse en utilisant les droitesetde la question II.1.
En déduire que∀(,)∈ℝ2,()()=(+) .
Que dire que (())pour∈ℕ? de (())−1?
L’application:֏() deℝvers2(ℝ) est-elle injective ?