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Sujet : Algèbre linéaire, Interpolation et polynômes factoriels

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Langue Français

Exrait

Interpolation et polynômes factoriels

Notations :
est un entier naturel fixé,≥2 .
est l’espace vectoriel des fonctions réelles définies surℝ.

est le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels.
est le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à.

Partie I

Si∈, on note() et( fonctions réelles définies par :) les

∀∈ℝ,()()=(+1)−() et()()=(+1) .

On admettra (aisément !) queetsont des endomorphismes de.
On note0=0=Id(donc si∈,0()=0()=), et, si∈ℕ∗:
 = −1 = −1et=−1=−1.
1. Soit∈, non constant.( une fonction polynôme.) est

2.
2.a

2.b

3.

1.

1.a
1.b

2.a
2.b

3.

4.
4.a

4.b

Comparer les degrés de() et de.
Calculer le coefficient dominant de() en fonction de celui de.
On notela restriction deau départ de.
Vérifier queréalise un endomorphisme de.
Déterminer ker.
En déduire le rang deet déterminer Im.
Déduire des questions précédentes que l’endomorphismeest surjectif.

Partie II

Pour∈ℕ, on définit les fonctions polynômespar :
2. ∀∈ℝ,0()=1 et()=(−1)...!(−+ .1)
Pour≥ exprimer1 ,( ( fonction de l’un des polynômes) en)≥0.
Calculer, pour∈ℕet∈ℕ,() puis (())(0) .
Montrer que la famille (0,1,..., une base de) est.
Soit∈,s’écrit=00+11+...+où (0,1,…,)∈ℝ+1.
Exprimer lesen fonction des (())(0).
Applications :
On pose()=2. Déterminer les coefficients,,∈ℝtels que :
∀∈ℝ:()=0()+1()+2()
et en déduire une fonction polynômetelle que()=.

Exploiter celle-ci pour exprimer∑2.

=1
Soit∈.
Déterminer pour∈ℝet∈ℕ, (())() .
Etant donné∈ℕ, expliciter( fonction des) en( 0) ,≤≤.

4.c

(on pourra remarquer que =−Id).
En déduire que (( dépend que des valeurs de))(0) neaux points 0,1,…,.

Partie III

On se donne une fonctionde (. On cherche les polynômes solutions du problème) suivant :

On pose :

1.

1.b

2.a

2.b

3.

3.a

3.b

Soit l’application linéaire :

) :deg≤
({0,1,…,},()()
∀ ∈ =


()=∏(−)=(−1)…(−) .
=0

ϕ:→ℝ+1

֏((0),…,())

Montrer queϕest un isomorphisme.
En déduire que le problème () possède une unique solution notée.

Pour∈ {0,1,…,} (, comparer())(0) et (())(0) .

En déduire l’expression deen fonction des (( des polynômes))(0) et
Dans cette question, on suppose queest de classe+1. On note :

Soit∈0,

1)
+1=sup(+() ,∈0,.

, non entier. Montrer que :

∃ξ∈0  −=(+1+))1(ξ!) .
[,], ( ) ( ( ) ) (

.

On pourra poserϕ()=()−()−() , oùest tel queϕ()=0 et appliquer judicieusement le
théorème de Rolle.
En déduire que∀∈[0,],()−()≤1+1+1
On pourra majorer() sur , chaque intervalle+1 , où∈ {0,1,…,−1}.