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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr
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Interpolation et polynômes factoriels
Notations :
est un entier naturel fixé,≥2 .
est l’espace vectoriel des fonctions réelles définies surℝ.
est le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels.
est le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à.
Partie I
Si∈, on note() et( fonctions réelles définies par :) les
∀∈ℝ,()()=(+1)−() et()()=(+1) .
On admettra (aisément !) queetsont des endomorphismes de.
On note0=0=Id(donc si∈,0()=0()=), et, si∈ℕ∗:
= −1 = −1et=−1=−1.
1. Soit∈, non constant.( une fonction polynôme.) est
2.
2.a
2.b
3.
1.
1.a
1.b
2.a
2.b
3.
4.
4.a
4.b
Comparer les degrés de() et de.
Calculer le coefficient dominant de() en fonction de celui de.
On notela restriction deau départ de.
Vérifier queréalise un endomorphisme de.
Déterminer ker.
En déduire le rang deet déterminer Im.
Déduire des questions précédentes que l’endomorphismeest surjectif.
Partie II
Pour∈ℕ, on définit les fonctions polynômespar :
2. ∀∈ℝ,0()=1 et()=(−1)...!(−+ .1)
Pour≥ exprimer1 ,( ( fonction de l’un des polynômes) en)≥0.
Calculer, pour∈ℕet∈ℕ,() puis (())(0) .
Montrer que la famille (0,1,..., une base de) est.
Soit∈,s’écrit=00+11+...+où (0,1,…,)∈ℝ+1.
Exprimer lesen fonction des (())(0).
Applications :
On pose()=2. Déterminer les coefficients,,∈ℝtels que :
∀∈ℝ:()=0()+1()+2()
et en déduire une fonction polynômetelle que()=.
Exploiter celle-ci pour exprimer∑2.
=1
Soit∈.
Déterminer pour∈ℝet∈ℕ, (())() .
Etant donné∈ℕ, expliciter( fonction des) en( 0) ,≤≤.
4.c
(on pourra remarquer que =−Id).
En déduire que (( dépend que des valeurs de))(0) neaux points 0,1,…,.
Partie III
On se donne une fonctionde (. On cherche les polynômes solutions du problème) suivant :
On pose :
1.
1.b
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
Soit l’application linéaire :
) :deg≤
({0,1,…,},()()
∀ ∈ =
()=∏(−)=(−1)…(−) .
=0
ϕ:→ℝ+1
֏((0),…,())
Montrer queϕest un isomorphisme.
En déduire que le problème () possède une unique solution notée.
Pour∈ {0,1,…,} (, comparer())(0) et (())(0) .
En déduire l’expression deen fonction des (( des polynômes))(0) et
Dans cette question, on suppose queest de classe+1. On note :
Soit∈0,
1)
+1=sup(+() ,∈0,.
, non entier. Montrer que :
∃ξ∈0 −=(+1+))1(ξ!) .
[,], ( ) ( ( ) ) (
.
On pourra poserϕ()=()−()−() , oùest tel queϕ()=0 et appliquer judicieusement le
théorème de Rolle.
En déduire que∀∈[0,],()−()≤1+1+1
On pourra majorer() sur , chaque intervalle+1 , où∈ {0,1,…,−1}.