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Français

Sujet : Algèbre linéaire, Inversion d'une matrice

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Inversion d’une matrice

L’objectif de ce problème est l’obtention d’une méthode permettant d’inverser certaines matrices symétriques
réelles.

Préliminaire

Soit∈(ℝ matrice diagonale à coefficients diagonaux deux à deux distincts.) une
Montrer que si une matrice∈(ℝ avec) commutealorsest diagonale.

Partie I

Soit∈(ℝ matrice symétrique réelle inversible.) une
On suppose qu’il existe une matrice∈(ℝ une matrice diagonale) et∈(ℝ coefficients diagonaux) à
distincts telles que=.
1. Etablir=.
2 En exploitant le préliminaire, établir queune matrice diagonale que l’on noteraest .
3. On note,le coefficient d’indice (,) deetδleèmecoefficient diagonal de.
3.a Exprimerδà l’aide d’un symbole sommatoire et des,.
3.b On suppose désormais qu’aucune colonne den’est nulle.
Justifier que,etsont inversibles.
4.a Exprimer l’inverse deen fonction de,,−1et−1.
4.b On noteλleèmecoefficient diagonal de la matrice.
On note,et, (les coefficients d’indice,) des matriceset−1.
Etablir,=∑,,.
=1λδ

On co
1.
1.a

1.b
1.c

2.
2.a

Partie II

2−1 0⋯ ⋯0
−1 2−1 0⋮
nsidère ici la matrice symétrique :=⋮0⋱⋱⋮⋱⋱⋱⋱⋱⋱0 .
⋮0−1 2−1
0⋯ ⋯0−1 2
On pose=det.
Former une relation de récurrence engageant,−1et−2.
Donner l’expression depour tout∈ℕ∗.
La matriceest-elle inversible ?
  
Soitun entier tel que 1≤≤.
Justifier, pour tout 1≤≤, la relation :
sin(−1+)π+sin(+1+)π=2 cos+πsin+π.
1 1 1 1

2.b

2.c

3.
3.a

3.b

3.c

4.

iπ
s n+1
   π
On note :=sin+π11≤≤=sin⋮2+1∈,1(ℝ) .
iπ
s n+1
Observer qu’il existe un réelλtel que=λet exprimer ce dernier.
On notela matrice de(ℝ les colonnes sont) dont1,2,…,.
Observer qu’il existe une matrice diagonaletelle que
a)=
b) les coefficients diagonaux desont deux à deux distincts.
On peut désormais reprendre les notations de la partie I
Expliciter,.

Icidésigne un réel de l’intervalle 0,π.

Justifier la relation :∑=cos 2=snsiincos(+1).
1


En déduire une expression en fonction deetde la somme :()=∑sin2.
=1

Observer que la valeur deδne dépend pas deet donner celle-ci.
En déduire le coefficient de la ligneet de la colonne de l’inverse de.