Sujet : Algèbre linéaire, L'anneau des quaternions
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L’anneau des quaternions
ℝdésigne le corps des nombres réels etℂle corps des nombres complexes.
2(ℂ) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients complexes.
1 0
On pose=0 1,=0−0,=−0110et=00.
Partie I : Etude d’une symétrie
Dans cette partie2(ℂ) est vu comme un espace vectoriel sur le corpsℂ.
Pour
=∈2(ℂ) , on poseσ()=−−.
1.a Montrer queσest une symétrie duℂ-espace vectoriel2(ℂ) .
1.b Etablir que (,,,) est une base duℂ-espace vectoriel2(ℂ) ,
puis donner la matrice de l’endomorphismeσdans cette base.
2. On considèreetdans2(ℂ) .
2.a Montrer queσ()=σ()σ() .
2.b
2.c
3.
Calculerσ() .
Justifier que siest inversible alorsσ( aussi) l’est
et exprimer alors−1en fonction de la matriceσ( det du complexe) et.
Exprimerσ() en fonction des matriceset tr(et du complexe) .
Partie II : Anneau des quaternions
Dans cette partie2(ℂ vu comme un espace vectoriel sur le corps) estℝ.
Pour=∈2(ℂ) , on note=.
On désigne parl’ensemble des matrices∈2(ℂ que) telleσ()=.
Les éléments desont appelés quaternions.
1.a Montrer que les matrices desont les matrices pouvant s’écrire :α+β+γ+δ
avecα,β,γ,δdes réels.
1.b En déduire queest un sous-espace vectoriel duℝ-espace vectoriel2(ℂ) .
Préciser une base et la dimension duℝ-espace vectoriel.
2.a Montrer queest stable pour le produit matriciel.
2.b Calculer2,2,2,,,,,et.
2.c Conclure que (est un sous-anneau de l’anneau2(ℂ),+,×) .
Le produit matriciel est-il commutatif sur?
3.a Vérifier que∀∈,σ()∈, tr∈ℝet det∈ℝ+
3.b Montrer qu’une matrice non nulle deest inversible et que son inverse est dans.
Ce qui précède permet de dire queest un corps non commutatif.
Partie III : Etude euclidienne
Pouretdans (, on pose :|)=t(4r1σ()+σ()) .
1. On considèreetdans.
1.a
1.b
1.c
2.
3.
3.a
3.b
3.c
4.
Prouver, sans calculs, que (|)∈ℝ.
Montrer que (|)=det.
Etablir que (. | .) est un produit scalaire sur leℝ-espace vectoriel.
Vérifier que (,,,) est une base orthonormée de.
On pose=Vect() et= {∈/ tr=0}.
est appelée droite des réels etespace des quaternions purs.
Montrer queest un hyperplan duℝ-espace vectorieldontest la droite normale.
Donner une base orthonormée de.
On désigne parla projection orthogonale sur=Vect() etcelle sur.
Pour∈, exprimer() et() en fonction de, deet du réel tr() .
Observer queσest une symétrie orthogonale d’axe.
Pour tout∈,σ( appelé conjugué du quaternion) est.
On oriente l’espacede sorte que la famille (,,) soit directe.
Montrer que pour tout,∈, on a :
()=()()−(() |())et()=()()+()()+()∧() .
