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Sujet : Algèbre linéaire, Matrices stochastiques

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Exrait

Matrices stochastiques

Notations et définitions

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 etun entier naturel.
Une matrice=(,) de(ℂ dite stochastique ssi) est
(1)∀,∈ {1, 2,…,},,∈ℝ+,

(2)∀∈ {1, 2,…,},∑,=1 .
=1
On notel’ensemble de ces matrices.
Une suite ()∈ℕde matrice de(ℂ dite converger vers) estmatrice de(ℂ) ssi les2suites
complexes définies par les coefficients des matricesconvergent vers les coefficients respectifs de.
On montre aisément que si () et (′) convergent verset′alors les suites (+′) et (′)
convergent respectivement vers+′et′.
Enfin étant donné∈(ℂ) et=+⋯+1+0∈ℂ, on note() la matrice définie par
()=+⋯+1+0∈(ℂ) .

Préliminaire

Soit=(,)∈(ℂ) . On note∈,1(ℂ) la colonne dont tous les coefficients valent 1.

1.

2.


Montrer que=ssi∀∈ {1,2…,},∑,=1 .
=1
En déduire queest stable pour le produit matriciel.

Partie I : Puissance des matrices stochastique d’ordre 2

La forme générale d’une matrice stochastique d’ordre 2 est=1−

1.
2.

2.a
2.b
2.c

2.d

1−avec ,∈

Calculerdans les cas==1 et==0 .
On suppose maintenant (,)≠(1,1) et (,)≠ .(0, 0)
Calculer() où=(−1)(−(+−1))
Exprimer le reste de la division euclidienne depar.
En déduire l’expression deen fonction de,et.
Montrer que la suite () converge vers une limite que l’on précisera.

0,1 .

Partie II : Exemple de calcul de puissances d’une matrice stochastique d’ordre 3

  
On considèrematrices carrées d’ordre 3 de la formel’ensemble des (,)  avec (,) .
=
  

1.

2.

Montrer queun sous-espace vectoriel de3(ℂ) dont on précisera une base et la dimension.
1 1 1
On note=11 1 1et=−.
31 1 1

2.a

2.b
2.c

3.

Montrer que la famille (,) forme une base de.
Quelles sont les coordonnées de(, cette base ?) dans
Calculer2,2,et.
Pourα,β∈ℂet≥ exprimer (1 ,α+β)en fonction deα,β,,et.
En déduire l’expression de(,)en fonction deet.

A quelles conditions suret, une matrice(,) deappartient-elle à3?
On suppose ces conditions remplies.
Montrer que la suite ((,)) converge vers une limite que l’on précisera.

Partie III : Matrice de permutation

On notele groupe des permutations de{1, 2,…,}. Pourσ∈, on noteσ=(,)∈(ℂ matrice) la
définie par :,=δσ(),= 0sino1si=nσ(). σest appelée matrice de permutation associée àσ.
1. Justifier que les matrices de permutations sont stochastiques.
2. Soit=(,) une matrice de(ℂ) etσun permutation de.
Donner le terme général des matrices=σet=σen fonction du terme général,de la
matrice. Comment interpréter les résultats obtenus en termes de permutation de lignes ou colonnes.
3. Soitσ,σ∈′.Exprimer le produitσ.σ′comme matrice associée à une permutation de.
En déduire queσest inversible et exprimer son inverse.
4. Soitσ∈. A quelle condition la suite (σ) converge-t-elle ?

Partie IV : Etude générale

Soit=(,)∈. On s’intéresse ici à l’éventuelle convergence de la suite ()∈ℕ.
Pour tout∈ℕ, on note() (le coefficient d’indice,) de la matrice.
,
1. Montrer que si la suite ()∈ℕconverge vers une matricealors∈et2=.
>0 .
2. On suppose ici que pour tous,∈ {1, 2,…,},,
On poseε=min{,/,∈ {1, 2,…,}}.
Pour toutdansℕ danset tout{1, 2,…,}, on note
α( )=min{(,)/∈ {1, 2,…,}},β()=max{,()/∈ {1, 2,…,}}etδ()=β()−α().
2.a Montrer que pour toutdansℕ danset tout{1, 2,…,}, on a :
α()≤α( +1)≤β( +1)≤β( etδ(+1)≤(1−2ε)δ( .
2.b En déduire que ()∈ℕconverge vers une certaine matrice.
2.c Quelle particularité ont les lignes de?
Les matrices stochastiques interviennent en calcul de probabilité de la manière suivante :
Considérons un système àétats numérotés de 1 àet notons,la probabilité pour ce système de passer de
l’état bout d’un laps de temps donné. auà l’état

La matrice=(,) est alors une matrice stochastique, la condition∑,=1 signifiant que le système doit
=1
atteindre à partir de l’état 2,l’un des états 1,…,donnés. Pour∈ℕ, les coefficients de la matrices
permettent de voir les probabilités qui permettent de passe d’un état à un autre au bout delaps de temps. La
limite de () , lorsqu’elle existe, donne une information sur le processus limite. Dans ce contexte, l’égalité des
lignes designifie que l’état limite est indépendant de l’état initial.