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Sujet : Algèbre linéaire, Noyaux et images itérés d'un endomorphisme

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Exrait

Noyaux et images itérés d’un endomorphisme

Soitun dimension finie de- espace vectoriel∈ℕ∗.
Soitun endomorphisme de.
Pour tout∈ℕ∗,désigne l’endomorphisme⋯(termes) et0désigne l’endomorphisme
identité noté Id .
Pour tout∈ℕ, nous notons ,=keret=Im
1.a Détermineretlorsqueest un endomorphisme injectif.
On revient au cas général.
1.b Pourquoietsont-ils des sous-espaces vectoriels de?
1.c Montrer que, pour tout∈ℕ:⊂+1et+1⊂.
2. On pose=dimet=dim.

2.a

2.b
2.c
3.
3.a

3.b

Calculer+.

Etablir qu’il existe un plus petit entier natureltel que=+1.
Justifier≤.
On reprend l’entierintroduit ci-dessus.
Montrer que=+1et=+1.
Plus généralement, observer que pour tout∈ℕ:+=et+=.

3.c Montrer enfin que=⊕.
4. Pour tout∈ℕ, on poseδ=−+1.
On désire montrer que la suite (δ) est décroissante.
4.a Justifier l’existence d’un sous-espace vectorieltel que=

4.b Etablir+1=+2+() .
4.c En déduireδ+1≤δ.

+1⊕et d

éterminer dim

.