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Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes de Bernstein

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Langue Français

Polynômes de Bernstein

Soitun entier naturel. On note 1,l’ensemble des entiers allant de 1 à.
On appelle polynômes de Bernstein de degréles polynômes réels:
,=(1−)−avec∈ {0,1,…,}

Dans tout le problème, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée.

1.

2.a

2.b

3.

Partie I : Polynômes de Bernstein

Représenter sur un même graphique les fonctions֏3,() pour=0,1, 2,3 et∈0,1 .


Calculer∑,. En déduire que pour tout∈0,1 , 0≤,()≤1.
=0
  
Calculer∑,,∑(−1),puis∑2,.
=0=0=0
Exprimer′,en fonction de−1,−1et−1,pour≥1 .

4. Etablir que la famille (,)0≤≤est une base deℝ.
 
5. Pour∈ℝ, on pose()=∑ .
,
=0
5.a Montrer queest un endomorphisme deℝ.
5.b Déterminer le noyau de. Qu’en déduit-on ?

Partie II : Théorème de Weierstrass

Soit: 0,1→ℝcontinue. Pour tout∈ℕ, on posela fonction définie par :()=∑=0,() .
1. Calculer() lorsque()=1 ,()=et()=2.
Vérifier qu’à chaque fois()→+∞→() pour tout∈0,1 .
2. On se propose de généraliser le résultat ci-dessus au cas général: 0,1→ℝcontinue.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

2
Calculer∑− () .
=,
0
Soit∈0,1 etε> La fonction0 .étant continue en:
∃α>0 ,∀∈0,1 :−≤α⇒()−()≤ε2 .
 
On pose=∈0,/−<αet=∈0,/−≥α.
 
Montrer que∈∑,()≤(1α−2)≤41α2.
En déduire que()−()≤2ε+2α2avec=s[0u,1p].
Conclure que( vers) converge() quand→ +∞
Etablir que′()=∑−=1+1−−1,() .
0
En déduire que si , 0,1est croissante sur alors pour tout∈ℕ,est croissante sur 0,1 .

Partie III : Courbes de Bézier

Les courbes de Bézier sont couramment utilisées en DAO, car elles permettent de construire des courbes
régulières satisfaisant des contraintes géométriques simples.
plan muni d’un repère orthon mé 
On suppose le or (;,) .
L’utilisateur se donne une famille de+1 points distincts ()0≤≤.
La courbe de Bézier définit par ces points est la courbe de point courant() (∈0,1 ) déterminé par :

1.

2.

3.
3.a

3.b

() est le barycentre des points0,1,…,affectés des masses,0(),,1(),…,,() .
 
Exprimer le vecteur( fonction des) enest des,() .

2
Dans le cas=3 , on considère les points00, 0101, 2 t1 e130 .
Représenter la courbe de Bézier correspondante.
On revient au cas général.
Préciser les points(0) et(1) .

On suppose1≠0. Montrer que la tangente en par(0) passe1.
De même, lorsque−1≠, on observe que la tangente en(1) passe par−1.
Ainsi, lors de la construction d’une courbe de Bézier, l’utilisateur détermine les extrémités et y précise les
tangentes.