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Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes de Legendre

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Langue Français

Exrait

Polynômes de Legendre

Notations

Dans tout le problème,désigne un entier naturel.
On noteℝl’espace vectoriel réel des polynômes réel en l’indéterminéeetℝ
vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal.
On identifiera polynôme et fonctions polynomiales associées définies sur−1,1 .
d
Pour∈ℕ d, on notela dérivéeèmed’un polynôme.

On considère, pour∈ℕ, les fonctions polynomiales définies surpar :

()=(2−1)et()=21d()
. ! d

.
En particulier, avec les conventions usuelles :0()=0()=1
A toute fonction polynomiale, on associe le polynôme() définie surpar :
()()=dd(2−dd1)()
 

Pour,∈ℝ, on pose (|)=

Partie I

1
()()d.
−1

1. Montrer que (. | .) définit un produit scalaire surℝ.
Dans tout le problème, on supposeℝmuni de ce produit scalaire et on note
associée.

2.

3.

3.a

3.b
3.c

4.

1.a
1.b
1.c

2.

le sous-espace

. la norme euclidienne

Montrer queest un endomorphisme deℝ.
On notela restriction de l’endomorphismeau départ deℝ.
Montrer queest un endomorphisme deℝ.
Calculer(1) ,() et( tout) pour 2≤≤.
Former la matrice de (1,relativement à la base canonique,2,…,) deℝ.
Soit,∈ℝ (. Observer que() |)=(|()) .

Partie II

Calculer directement1,2et3.
Montrer queest exactement de degréet calculer le coefficientdedans.
Justifier que0,1,…,forment une base deℝ.
 
En utilisant la formule de Leibniz pour cal d( )blir que :
 
culer : d(−()1+1) , éta


()=21=∑02(−1)−(+1)
et en déduire les valeurs de(1) et(−1) .

3.a

3.b

3.c

4.a

4.b

5.a

5.b

5.c

6.

Vérifier les relations :
(1) :′+1()−2(+1)()=0 ,
(2) : (2−1)′()−2()=0 .
En dérivant+ (1 fois (1) et (2), montrer que la suite :) vérifie
(3) :′+1()=′()+(+1)() ,
(4) :()=(+1).
En exploitant la relation (4) et le résultat de la question I.4, établir que si≠, (|)=0 .

Montrer que pour tout∈ℝ, (+1|)=0 .


En introduisant un polynômede la forme∏(−) montrer que le polynôme+1possède
=1
exactement+1 racines distinctes, toute dans l’intervalle−1,1 .

Montrer que (′+1|)=(+1)+12.


A l’aide d’une intégration par parties, établir que :

En déduire que2=22+. 1

2=2−2

1
  .
1( )′( )d

Etant donné un polynôme∈ℝetun sous-espace vectoriel deℝ, on note(,) la
distance deau sous-espace vectoriel.
Calculer(+1,ℝ) .