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Sujet : Algèbre linéaire, Puissances d'un endomorphisme géométrique

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Exrait

Puissances d'un endomorphisme géométrique

Dans tout le problème,ℝ3est muni de sa structure euclidienne orientée usuelle et rapporté à sa base canonique
(orthonormée directe) notée (1,2,3) .
On note(ℝ3) laℝalgèbre des endomorphismes deℝ3,3(ℝ) laℝ-algèbre des matrices carrées d’ordre
3 à coefficients réels et3la matrice identité.

Partie I

d matr=1−5−1−−1dans la base canonique.
Soitl’endomorphisme deℝ3e ice3−11−1551
1. Calculer det. En déduire queest un automorphisme deℝ3.
2. Soit1=′(1,1,1) ,′2=(1,− et1, 0)3′=(1,1,−2) .
2.a Montrer que(1′,2′,3′)est une base deℝ3.
2.b Déterminer la matrice′dedans la base(1′,′2,′3).
2.c Calculer′et donner une méthode de calcul de.
(on ne demande pas d’effectuer lesdits calculs).
3.a La famille (3,) est-elle libre dans3(ℝ) ?
3.b Montrer que2peut s’exprimer comme combinaison linéaire de3et.
3.c En déduire que pour tout∈ℕ, il existe un unique couple (, réels tels que) de=3+.
3.d Donner les valeurs de0,0,1,1et exprimer, pour∈ℕ,+1et+1en fonction deet.
3.e Montrer que la suite (+)∈ℕ (est constante, puis que la suite+1)∈ℕest géométrique.
3.f En déduire l’expression deetpour tout∈ℕ.
4. Soit=−23.
4.a Calculerpour∈ℕ.
4.b En déduire l’expression deen fonction de3etpour∈ℕ.
4.c Comparer avec le résultat de la question 3.

Partie II

−1−1 5
=51−1−1 ni
Soitl’endomorphisme deℝ3 3de matrice−1 5−1 que.dans la base cano
On pose=−1et on notela matrice dedans la base canonique.
1. Calculer; vérifier queest une rotation vectorielle et que==.
2. Soit(1′′,′2′,′3′)la famille obtenue en normant les vecteurs1′,2′et3′de la question I.2.
2.a Montrer que(1′′,′2′,′3)′est base orthonormée directe.
2.b Ecrire la matrice′dedans cette base et caractériser géométriquement.
3.a Exprimer la matrice dedans la base (1′,′2′′,3′′ fonction de) en′
.
3.b En déduire la matrice de (dans la base1′,′2′′,3′′) .
4.a Quel est l’ensemble des vecteurs invariants par?
4.b Soit=Vect(2′′,3′′) .

4.b.i

4.b.ii

Montrer que()=.

Soitl’endomorphisme detel que pour toutde,()=() . Montrer queest la composée
de deux applications linéaires simples que l’on reconnaîtra.