Sujet : Algèbre linéaire, Puissances d'un endomorphisme géométrique
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Puissances d'un endomorphisme géométrique
Dans tout le problème,ℝ3est muni de sa structure euclidienne orientée usuelle et rapporté à sa base canonique
(orthonormée directe) notée (1,2,3) .
On note(ℝ3) laℝalgèbre des endomorphismes deℝ3,3(ℝ) laℝ-algèbre des matrices carrées d’ordre
3 à coefficients réels et3la matrice identité.
Partie I
d matr=1−5−1−−1dans la base canonique.
Soitl’endomorphisme deℝ3e ice3−11−1551
1. Calculer det. En déduire queest un automorphisme deℝ3.
2. Soit1=′(1,1,1) ,′2=(1,− et1, 0)3′=(1,1,−2) .
2.a Montrer que(1′,2′,3′)est une base deℝ3.
2.b Déterminer la matrice′dedans la base(1′,′2,′3).
2.c Calculer′et donner une méthode de calcul de.
(on ne demande pas d’effectuer lesdits calculs).
3.a La famille (3,) est-elle libre dans3(ℝ) ?
3.b Montrer que2peut s’exprimer comme combinaison linéaire de3et.
3.c En déduire que pour tout∈ℕ, il existe un unique couple (, réels tels que) de=3+.
3.d Donner les valeurs de0,0,1,1et exprimer, pour∈ℕ,+1et+1en fonction deet.
3.e Montrer que la suite (+)∈ℕ (est constante, puis que la suite+1)∈ℕest géométrique.
3.f En déduire l’expression deetpour tout∈ℕ.
4. Soit=−23.
4.a Calculerpour∈ℕ.
4.b En déduire l’expression deen fonction de3etpour∈ℕ.
4.c Comparer avec le résultat de la question 3.
Partie II
−1−1 5
=51−1−1 ni
Soitl’endomorphisme deℝ3 3de matrice−1 5−1 que.dans la base cano
On pose=−1et on notela matrice dedans la base canonique.
1. Calculer; vérifier queest une rotation vectorielle et que==.
2. Soit(1′′,′2′,′3′)la famille obtenue en normant les vecteurs1′,2′et3′de la question I.2.
2.a Montrer que(1′′,′2′,′3)′est base orthonormée directe.
2.b Ecrire la matrice′dedans cette base et caractériser géométriquement.
3.a Exprimer la matrice dedans la base (1′,′2′′,3′′ fonction de) en′
.
3.b En déduire la matrice de (dans la base1′,′2′′,3′′) .
4.a Quel est l’ensemble des vecteurs invariants par?
4.b Soit=Vect(2′′,3′′) .
4.b.i
4.b.ii
Montrer que()=.
Soitl’endomorphisme detel que pour toutde,()=() . Montrer queest la composée
de deux applications linéaires simples que l’on reconnaîtra.
