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Sujet : Algèbre linéaire, Puissances d'une matrice

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Exrait

Puissances d’une matrice

Soitun entier naturel supérieur ou égal à 2.ℝest rapporté à sa base canonique=(1,2,…,) .
Soit(ℝ) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordreà coefficients réels.
Soitla matrice carrée identité d’ordre,=diag(1,1,…,1) .
Soitla matrice carrée d’ordrenulle.
Soitla matrice carrée d’ordreconstituée uniquement de « 1 »,=(,)1≤,≤avec,=1 .

Partie I

Soitle sous-espace vectoriel de(ℝ) engendré paret.
1. Montrer que espace vectoriel de dimension deux surest un.
2. Pourentier naturel non nul donné, calculer.
3. Montrer queest stable pour la multiplication.
4. Soit=α.+β.un élément de.
4.a Calculeren fonction deα,β,,et,désignant un entier naturel non nul.
4.b Calculer det.
4.c A quelle(s) condition(s) portant surαetβ,est-elle inversible ?
Calculer alors l’inverse−1en fonction deα,β,et.

Partie II

Soitl’endomorphisme deℝdont la matrice dans la base canonique deℝest.


Soitl’identité deℝ. Soit0=1et1=−1.
 
1.a Montrer que0et1sont des projecteurs.
1.b Comparer ker0, Im0avec ker1, Im1.
Donner la dimension de ces espaces
1.c Soit′une base adaptée à la décomposition=Im0⊕ker0.
Former les matrices représentatives de0et1dans cette base′.
2. Soit0la matrice de0dans la base canoniquedeℝ,1la matrice de1dans cette même base.
Montrer que (0,1) est une base de=Vect(,) .
3. Soit=α.+βun élément de,βétant non nul.
3.a Donner les composantesλetdedans la base (0,1) .
3.b Calculeren fonction deλ,,,0et1.
Retrouver l’expression du I.4.a.