Sujet : Algèbre linéaire, Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels

Soitun- espace vectoriel de dimension finie∈ℕ∗.
On se donneetdeux sous-espaces vectoriels deet on se pose le problème suivant :
A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sous-espace vectorieltel que :+=⊕=⊕.
1. Dans cette question on suppose que le sous-espace vectorielexiste.
Montrer que dim=dim dimet déterminer.
Dans la suite de notre étude, nous allons supposer dim=dimet montrer que le sous-espace vectoriel
existe.
2. On étudie pour commencer le cas oùetseraient deux hyperplans distincts.
2.a Justifier l’existence de vecteurs∈et∈tels que∉et∉.
2.b Etablir que=+∉∪.
2.c Observer que=Vect( solution du problème posé.) est

3.
3.a

3.b

3.c

3.d

4.

4.a
4.b

4.c

On revient au cas général et on suppose seulement dim=dim
Résoudre le problème posé lorsque=
Dans la suite, on suppose≠.
Justifier qu’il existe un sous-espace vectoriel′tel que (∩)⊕′=.
De manière symétrique, on introduit′sous-espace vectoriel tel que (∩)⊕′=.
Montrer que∩′{′=}et dim′dim′∈ℕ∗
.
=
Dans la suite, on pose=dim=′dim′.
Justifier l’existence de bases=(1,…,) et=(1,…, sous-espaces vectoriels) aux′et′.
On reprend les objets introduits ci-dessus afin de construire un sous-espace vectorielsolution.

On forme=(1,…, posant, pour tout) en∈ {1,…,},=+.
Montrer que la familleest libre.
 
On pose=Vect(1,…,) .
Déterminer dim.
Montrer que∩= {}.

4.d Conclure que+=⊕=⊕.