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Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Rang d'une matrice

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rang d’une matrice Exercice 6 [ 02602 ] [correction] Soit A∈M (R) une matrice de rang r.n Déterminer la dimension de l’espaceExercice 1 [ 00701 ] [correction] Soit A∈M (K) une matrice carrée de rang 1.n {B∈M (R)/ABA =O }t n na) Etablir l’existence de colonnes X,Y ∈M (K) vérifiant A =X Y.n,1 2b) En déduire l’existence de λ∈K tel que A =λA. Exercice 7 [ 01602 ] [correction] Soient A,B∈M (K).nExercice 2 [ 00700 ] [correction] 2 a) Justifier qu’il existe U,V ∈ GL (K) tels quenSoit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ∈K tel que A =λA. rg(UA+BV) = min(n,rgA+rgB) Exercice 3 [ 03460 ] [correction] b) On suppose rgA+rgB>n. Montrer qu’il existe U,V ∈ GL (K) tels quen Soit H∈M (C) une matrice de rang 1.n ta) Montrer qu’il existe des matrices U,V ∈M (K) telles que H =U V.n,1 UA+BV ∈ GL (R)n b) En déduire 2H = tr(H)H c) On suppose trH =−1. Montrer que I +H est inversible et Exercice 8 [ 03134 ] [correction]n Soient A,B,C,D∈M (K).n 1−1 a) On note A B ∈M (K) la matrice obtenue en accolant les colonnes de(I +H) =I − H n,2nn n 1+trH B à droite de celles de A. −1 Montrerd) Soient A∈ GL (K) telle que tr(HA ) =−1. Montrer que A+H estn rg A B = rgA⇔∃U∈M (K),B =AUninversible et 1 −1 −1 −1 −1(A+H) =A − A HA A−11+tr(HA ) b) On note ∈M (K) la matrice obtenue en accolant les lignes de C en2n,n C dessous de celles de A.

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Langue Français

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Rang d’une matrice

Exercice 1[ 00701 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice carrée de rang 1.
a) Etablir l’existence de colonnesX Y∈ Mn1(K)vérifiantA=XtY.
b) En déduire l’existence deλ∈Ktel queA2=λA.

Enoncés

Exercice 2[ 00700 ][correction]
SoitAune matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existeλ∈Ktel queA2=λA.

Exercice 3[ 03460 ][correction]
SoitH∈ Mn(C)une matrice de rang 1.
a) Montrer qu’il existe des matricesU V∈ Mn1(K)telles queH=UtV.
b) En déduire
H2=tr(H)H

c) On suppose trH6=−1. Montrer queIn+Hest inversible et
(In+H)−1=In−1H
1 +trH
d) SoientA∈GLn(K)telle que tr(H A−1)6=−1. Montrer queA+Hest
inversible et
(A+H)−1=A−1−1 +tr1(H A−1)A−1H A−1

Exercice 4[ 00698 ][correction]
SoientA∈ M32(R)etB∈ M23(R)telles que
1 0 0
AB=010000

a) Déterminer les rangs deAetB.
b) CalculerBAen observant(AB)2=AB.

Exercice 5[ 00699 ][correction]
SoientA∈ M32(R)etB∈ M23(R)matrices de rang 2 vérifiant(AB)2=AB.
MontrerBA=I2.

Exercice 6[ 02602 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)une matrice de rangr.
Déterminer la dimension de l’espace

{B∈ Mn(R)ABA=On}

Exercice 7[ 01602 ][correction]
SoientA B∈ Mn(K).
a) Justifier qu’il existeU V∈GLn(K)tels que

rg(U A+BV) = min(nrgA+rgB)

b) On suppose rgA+rgB>n. Montrer qu’il existeU V

U A+BV∈GLn(R)

∈GLn(K)tels que

1

Exercice 8[ 03134 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K).
a) On noteA B∈ Mn2n(K)la matrice obtenue en accolant les colonnes de
Bà droite de celles deA.
Montrer
rgA B=rgA⇔ ∃U∈ Mn(K) B=AU
b) On noteCA∈ M2nn(K)la matrice obtenue en accolant les lignes deCen
dessous de celles deA.
Montrer
rgAC=rgA⇔ ∃V∈ Mn(K) C=V A

c) En déduire
rgCBAD=rgA⇔ ∃U V∈ Mn(K)ADBC=AVA

Exercice 9[ 00710 ][correction]
SoitGun groupe multiplicatif formé d’éléments deMn(R).
Montrer que les éléments deGont tous le mme rang.

AU
V AU

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Exercice 10CCP PSI[ 03808 ][correction]
a) Montrer que siC∈ Mn(R)vérifie :

∀X∈ Mn(R)det(C+X) = detX

alors elle est nulle (on pourra étudier le rang deC).
b) Montrer que siAetBdeMn(R)vérifient :

alorsA=B.

∀X∈ Mn(R)det(A+X) = det(B+X)

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)Aest équivalente à la matriceJ1=diag(10    0)donc il existe
P Q∈GLn(K)vérifiantA=P J1Q.
PourC=t(10    0), on aJ1=CtCdoncA=XtYavecX=P CetY=tQC.
b)A2=X(tY X)tY.tY Xest un scalaireλdoncA2=XλtY=λXtY=λA.

Exercice 2 :[énoncé]
Il existe une colonneXtelle queAX6= 0et alors ImA=Vect(AX).
A2X∈ImAdonc il existeλ∈Ktel queA2X=λAX.
De plus pourY∈kerA,A2Y= 0 =λAY.
EnfinkerAet Vect(X)sont supplémentaires dansMn1(K)doncA2=λA.

Exercice 3 :[énoncé]
a) SoitUune colonne non nulle de l’image deH.
Pour tout16j6p, la colonneCjdeHpeut s’écrireCj=λjUavecλj∈K.
La matrice colonneV=tλ1   λnvérifie alorsH=UtV.
b) On a alorsH2=U(tV U)tVavecλ=tV Uun scalaire doncH2=λHet
λ=tV U=trtV U=trUtV=trH

c) En développant
(In+H)In−11+trH H=In+H−1H−1+trH H2=In
1 +trH1
Par le théorème d’inversibilité des matrices, on obtientIn+Hest inversible et
(In+H)−1=In−+11trH H
d) On a rg(H A−1) =rgH= 1car on ne modifie pas le rang en multipliant par
une matrice inversible.
On en déduit queIn+H A−1est inversible et
In+H A−1−1=In−1 +tr(1H A−1)H A−1
En multipliant par la matrice inversibleA, on obtientA+H=In+H A−1A
inversible et
(A+H)−1=A−1In+H A−1−1=An−1−1 +tr1(H A−1)A−1H A−1

Exercice 4 :[énoncé]

a) On a
rg(AB) = 26min(rgArgB)62
donc
rg(A) =rg(B) = 2
b) On aABAB=ABdoncA(BA−I2)B=O3.
On en déduit Im((BA−I2)B)⊂kerA={0}donc(BA−I2)B=O23.
Par suite ImB⊂ker(BA−I2)orBest surjective doncBA−I2=O2puis

BA=I2

Exercice 5 :[énoncé]
On aA(BA−I2)B= 0.
Or puisqueAest de rang 2,kerA={0}et donc(BA−I2)B= 0.
De plus, puisqueBest de rang 2, ImB=M2(R)et doncBA−I2= 0.

Exercice 6 :[énoncé]
alente à la matriceJr=OnI−rrrOOnr−ret donc il
La matrice est équivn−r
existe des matricesP Qinversibles vérifiantA=QJrP. Par suite
ABA=On⇔JrP BQJr=On. Via l’isomorphismeB7→P BQ, l’espace
{B∈ Mn(R)ABA=On}est isomorphe à{M∈ Mn(R)JrM Jr=On}.
En écrivant la matriceMpar blocs, on vérifie que les matricesMvérifiant
Or?
JrM Jr=Onsont les matrices de la form? ?. On en déduit
e
dim{B∈ Mn(R)ABA=On}=n2r2.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Posonsr=rgAets=rgB. Les matricesAetBsont respectivement
équivalentes aux matrices
Jr=IrOOnrn−−rretJ0s=OOsnn−−ssOnI−sss
On−rt

Il existe doncP Q R S∈GLn(R)telles que

et alors

P AQ=JretRBS=Js0

P AQ+RBS=Jr+J0s

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qui est une matrice de rangmin(n r+s).
On peut aussi écrire

(R−1P)A+B(SQ−1) =R−1(Jr+J0s)Q−1

et en posantU=R−1PetV=SQ−1, on obtientU V∈GLn(R)telles que

rg(U A+BV) = min(n r+s)

Corrections

b) Sir+s>nalorsmin(n r+s) =net ce qui précède conduit à une matrice
inversible.

Exercice 8 :[énoncé]
a) (⇒) Supposons rgA B=rgA=r.
Rappelons que le rang d’une matrice est le rang de la famille de ses colonnes.
Puisque rgA=r, la matriceApossèdercolonnes indépendantes.
Puisque rgA B=r, les colonnes deA Bsont toutes combinaisons
linéaires des colonnes précédentes.
En particulier les colonnes deBsont combinaisons linéaires des colonnes deA.
Ceci permet de formerU∈ Mn(K)vérifiantB=AU.
(⇐) SupposonsB=AU.
Les colonnes deBsont combinaisons linéaires des colonnes deAet donc par
opérations sur les colonnes
rgA B=rgA On=rgA

b) Il suffit de transposer le raisonnement qui précède en raisonnant sur les lignes
et en exploitant que le rang d’une matrice est aussi le rang de la famille des ses
lignes.
c) Supposons
BAD=rgA
rgC

Puisque

on a

rgA6rgA B6ACBD=rgA
rg
rgA=rgA Bet rgABCD=rgA

En vertu de a) il existe une matriceU∈ Mn(K)telle que

B=AU

B

En raisonnant comme en b), il existe une matriceV∈ Mn(K)telle que
C D=V A V B

On en déduit
ABCD=A
V A
Inversement, supposons
B A

A
C

VAAUU

AU
=
D V A V AU

Lesndernières lignes étant combinaisons linéaires desnpremières, on a
rgCDAB=AOnAUOn=rgA AU

puis

rgABCD=AOnAUOn=rgA

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Exercice 9 :[énoncé]
Commençons par noter que le neutre multiplicatif deGn’est pas nécessairement
In. Par exemple,G={On}est un groupe multiplicatif formé d’éléments de
Mn(R).
NotonsJle neutre du groupeG. SoitA∈G.
D’une partAJ=Adonc rg(A) =rg(AJ)6rg(J).
D’autre part, il existeB∈Mn(R)tel queAB=Jdonc rg(J) =rg(AB)6rg(A).
Finalement∀A∈Grg(A) =rg(J).

Exercice 10 :[énoncé]
a) Posonsr=rgC. On peut écrireC=QJrPavecP Qinversibles et
Jr=(I0r)O(n0)−r

Posons alorsX=QJ0rPavec
J0r=(O0r)I(n0−)r

PuisqueA+X=QInP=QP, la matriceA+Xest inversible et donc
detX= det(A+X)6= 0.

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Corrections

On en déduit que la matriceJ0rest l’identité et doncr= 0puisA=On.
b) QuandXparcourtMn(R)alorsY=B+XparcourtMn(R)et en posant
C=A−B, on obtient

∀Y

∈ Mn(R)det(C+Y) = detY

Ce qui précède permet alors de conclure.

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