Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Polynômes réels scindés

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Polynômes réels scindés Exercice 7 [ 03340 ] [correction] Soit P∈R [X] scindé à racines simples. Montrer qu’aucun coefficient nul de P ne peut être encadré par deux coefficientsExercice 1 [ 02160 ] [correction] ? non nuls et de même signe.Soit P un polynôme de degré n + 1∈N à coefficients réels possédant n + 1 racines réelles distinctes. 0a) Montrer que son polynôme dérivé P possède exactement n racines réelles Exercice 8 [ 03683 ] [correction]distinctes. 2 Soit P∈C [X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont deb) En déduire que les racines du polynôme P + 1 sont toutes simples dansC. ¯parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme P +P est scindé dansR [X]. Exercice 2 [ 03339 ] [correction] ?Soit P∈R [X] scindé à racines simples dansR. Montrer que pour tout α∈R les Exercice 9 X MP [ 03696 ] [correction]2 2racines de P +α dansC sont toutes simples. 0Soit P∈R [X] scindé surR. Montrer que pour tout réel α, le polynôme P +αP est lui aussi scindé surR. Exercice 3 CCP MP [ 03581 ] [correction] 0Soit P∈R [X] scindé de degré> 2; on veut montrer que le polynôme P est lui aussi scindé. a) Enoncer le théorème de Rolle. b) Si x est racine de P de multiplicité m> 1, quelle en est la multiplicité dans0 0P ? c) Prouver le résultat énoncé. Exercice 4 [ 02163 ] [correction] Soit P∈R [X] un polynôme scindé de degré supérieur à 2. 0Montrer que P est scindé.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Polynômes réels scindés

Exercice 1 [ 02160 ] [correction] SoitPun polynôme de degrén+ 1∈N ? à coefficients réels possédantn+ 1 racines réelles distinctes. a) Montrer que son polynôme dérivéP 0 possède exactementnracines réelles distinctes. b) En déduire que les racines du polynômeP 2 + 1sont toutes simples dansC.

Enoncés

Exercice 2 [ 03339 ] [correction] SoitP∈R[X]scindé à racines simples dansR. Montrer que pour toutα∈R ? les racines deP 2 +α 2 dansCsont toutes simples.

Exercice 3CCP MP [ 03581 ] [correction] SoitP∈R[X]scindé de degré>2; on veut montrer que le polynômeP 0 est lui aussi scindé. a) Enoncer le théorème de Rolle. b) Six 0 est racine dePde multiplicitém>1, quelle en est la multiplicité dans P 0 ? c) Prouver le résultat énoncé.

Exercice 4 [ 02163 ] [correction] SoitP∈R[X]un polynôme scindé de degré supérieur à 2. Montrer queP 0 est scindé.

Exercice 5Mines-Ponts MP [ 02669 ] [correction] a) SiP∈R[X]est scindé surR, montrer queP 0 est scindé surR. b) Si(a b c)∈R 3 , montrer queX 10 +aX 9 +bX 8 +cX 7 +X+ 1n’est pas scindé surR.

Exercice 6X MP [ 00274 ] [correction] SoitP∈R[X]simplement scindé surR. Montrer quePne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.

Exercice 7 [ 03340 ] [correction] SoitP∈R[X]scindé à racines simples. Montrer qu’aucun coefficient nul dePne peut tre encadré par deux coefficients non nuls et de mme signe.

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Exercice 8 [ 03683 ] [correction] SoitP∈C[X]un polynôme non constant dont les racines complexes sont de ¯ parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynômeP+Pest scindé dansR[X].

Exercice 9X MP [ 03696 ] [correction] SoitP∈R[X]scindé surR. Montrer que pour tout réelα, le polynômeP 0 +αP est lui aussi scindé surR.

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