Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité des polynômes en un endomorphisme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Diagonalisabilité des polynômes en un endomorphisme Exercice 1 [ 00859 ] [correction] Soient P∈K[X] et u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. a) On suppose que u est diagonalisable, montrer que P(u) l’est aussi. b) Que dire de la réciproque? Exercice 2 [ 00860 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension finie. 2a) On suppose que f est diagonalisable. Montrer que f est diagonalisable et 2kerf = kerf . On étudie désormais la propriété inverse. 2b) Par un exemple, montrer que si f est diagonalisable, f n’est pas nécessairement diagonalisable. 2 2c) Montrer que si f est diagonalisable et si kerf = kerf alors f est diagonalisable. Exercice 3 [ 00861 ] [correction] ?Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie n∈N et u∈L(E). a) Enoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur. 2b) On suppose u∈ GL(E). Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, u l’est. 0c) Généralisation : Soit P∈C[X]. On suppose P (u)∈ GL(E) Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, P(u) l’est. Exercice 4 [ 00862 ] [correction] Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit P un polynôme complexe, on suppose que P(u) est diagonalisable et que la 0valeur prise par P sur toute racine complexe de P n’est pas valeur propre de l’endomorphisme P(u). Montrer que u est diagonalisable.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Diagonalisabilité endomorphisme

des

polynômes

en

Enoncés

un

Exercice 1 [ 00859 ] [correction] SoientP∈K[X]etuun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie. a) On suppose queuest diagonalisable, montrer queP(u)l’est aussi. b) Que dire de la réciproque ?

Exercice 2 [ 00860 ] [correction] Soitfun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie. a) On suppose quefest diagonalisable. Montrer quef 2 est diagonalisable et kerf= kerf 2 . On étudie désormais la propriété inverse. b) Par un exemple, montrer que sif 2 est diagonalisable,fn’est pas nécessairement diagonalisable. c) Montrer que sif 2 est diagonalisable et sikerf= kerf 2 alorsfest diagonalisable.

Exercice 3 [ 00861 ] [correction] SoientEunC-espace vectoriel de dimension finien∈N ? etu∈ L(E). a) Enoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur. b) On supposeu∈GL(E). Montrer queuest diagonalisable si, et seulement si,u 2 l’est. c) Généralisation : SoitP∈C[X]. On supposeP 0 (u)∈GL(E) Montrer queuest diagonalisable si, et seulement si,P(u)l’est. Exercice 4 [ 00862 ] [correction] SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE. SoitPun polynôme complexe, on suppose queP(u)est diagonalisable et que la valeur prise parPsur toute racine complexe deP 0 n’est pas valeur propre de l’endomorphismeP(u). Montrer queuest diagonalisable.

Exercice 5CCP MP [ 02524 ] [correction] = p SoientA B∈GL n (C)telles queB A. Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,Bl’est.

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