Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité et polynômes annulateurs
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Diagonalisabilité et polynômes annulateurs
Exercice 1[ 00846 ][correction]
Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.
Exercice 2[ 00847 ][correction]
Soit
A=−IOnnOInn∈ M2n(K)
2
CalculerA.
Selon queK=RouCdire si la matriceAest, ou non, diagonalisable.
Exercice 3[ 00848 ][correction]
Soitn∈N?etA∈ M2n(C)définie par blocs :
A=On−IOn
I
Enoncés
a) CalculerA2.
b) La matriceA Déterminer les valeurs propres de ?est-elle diagonalisableAet les
dimensions de ses espaces propres ?
Exercice 4[ 00849 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie etfun endomorphisme deE
vérifiant
f3= 4f
Montrer que la trace defest un entier pair.
Exercice 5[ 00850 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle que
Montrer quedet(A) = 1.
A3−A2+A−I=O
1
Exercice 6[ 00851 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn∈Netp∈ L(E)tel quep2soit un
projecteur.
a) Quelles sont les valeurs propres possibles pourp?
b) Montrer quepest diagonalisable si, et seulement si,p3=p.
Exercice 7[ 00852 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension 3 etfun endomorphisme deEvérifiant
f4=f2
On suppose que1et−1sont valeurs propres def. Montrer quefest
diagonalisable.
Exercice 8[ 02608 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)vérifiant
A3+In=On
Montrer que la trace deAest un entier.
Exercice 9Mines-Ponts MP
SoitA∈ Mn(R)telle que
Montrer que rgAest pair.
[ 02714 ][correction]
A3+A2+A= 0
Exercice 10[ 03469 ][correction]
SoitM∈ Mn(R)vérifiant
M2+tM= 2In
Montrer que cette matriceMest diagonalisable.
Exercice 11Centrale PSI[ 03645 ][correction]
SoitM∈ Mn(C)telle que
M2+tM=In
a) Montrer
Minversible si, et seulement si,1∈SpM
b) Montrer que la matriceMest diagonalisable.
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Enoncés
Exercice 12[ 03792 ][correction]
Soientnun entier supérieur ou égal à 2 etMune matrice carrée de taillentelle
queM2+tM=In
Quelles sont les valeurs propres deM ?? Est-elle symétrique Est-elle
diagonalisable ?
Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02716 ][correction]
Résoudre dansMn(R)le système
(M2+M+In= 0
tM M=MtM
Exercice 14[ 03030 ][correction]
SoientP∈ Mn(R)une matrice de projection etϕl’endomorphisme deMn(R)
défini par
ϕ(M) =P M+M P
Montrer que l’endomorphismeϕest diagonalisable
Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02720 ][correction]
Soitn∈N?u∈ L(R2n+1). On supposeu3=u, tru= 0et tru2= 2n. On note
,
C(u) =v∈ L(R2n+1)uv=vu
a) Calculer la dimensionC(u).
b) Quels sont lesntels queC(u) =R[u]?
Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02721 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). On posefA(M) =AM, pour toute matriceM∈ Mn(R).
a) Montrer que siA2=AalorsfAest diagonalisable.
b) Montrer quefAest diagonalisable si, et seulement si,Aest diagonalisable.
Exercice 17Centrale MP[ 00853 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). On posef(M) =AMpour touteM∈ Mn(C).
a) L’applicationfest-elle un endomorphisme deMn(C)?
b) Etudier l’équivalence entre les inversibilités deAet def.
c) Etudier l’équivalence entre les diagonalisabilités deAet def.
Exercice 18CCP MP[ 03192 ][correction]
SoitA∈ M2(Z)telle quedetA= 1et qu’il existep∈N?pour lequel
Ap=In
a) Montrer queAest diagonalisable dansC.
On noteαetβles deux valeurs propres deA.
¯
b) Montrer que|α|=|β|= 1, queα=βet
|Re(α)| ∈ {0121}
c) Montrer queA12=I2
d) Montrer que l’ensembleG={Ann∈N}est un groupe monogène fini pour le
produit matriciel.
Exercice 19X MP[ 00838 ][correction]
SoitA∈ M2(Z)vérifiant :
∃n∈N? An=I2
Montrer queA12=I2.
Exercice 20X MP[ 02652 ][correction]
On fixen∈N?et on note
En={A∈ Mn(Z)∃m∈N? Am=In}
PourA∈En, on pose
ω(A) = min{m∈N?Am=In}
Montrer queω(En)est fini.
Exercice 21[ 03138 ][correction]
Soit
M
avecA∈ Mn(R).
a) Montrer que
=A0AA
∀P∈R[X],P(M) =P0(A)
APP(0(AA))
2
b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante pour queMsoit diagonalisable.
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Exercice 22[ 03281 ][correction]
Soit
M=A0
B
A
avecA B∈ Mn(R)vérifiantAB=BA
a) Montrer que
∀P∈R[X],P(M) =P(0A)PP0((AA))B
b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante surAetBpour queMsoit
diagonalisable.
Exercice 23[ 02953 ][correction]
Déterminer les couples(A B)∈ Mn(R)2tels que
B
OAA
est diagonalisable.
Exercice 24[ 03027 ][correction]
Trouver les matricesM∈ Mn(C)vérifiantM5=M2et tr(M) =n.
Enoncés
Exercice 25[ 03646 ][correction]
Soientf u vtrois endomorphismes d’unR-espace vectorielEde dimension finie .
On suppose qu’il existeα β∈Rdistincts tels que
Id=u+v
f=αu+βv
f2=α2u+β2v
a) Montrer quefest diagonalisable.
b) Justifier queuetvsont des projections vectorielles dont on précisera noyau et
image en fonction des espaceker(f−αId)etker(f−βId).
c) Exprimerfnpour toutn∈Nen fonction deα βetu v.
Exercice 26[ 03028 ][correction]
Soientα β∈Ketu v ftrois endomorphismes d’unK-espace vectorielEde
dimension finie vérifiant
f=αu+βv
ff32==αα32uu++ββ32vv
Montrer quefest diagonalisable.
Exercice 27Mines-Ponts PC[ 00708 ][correction]
Soit(A B C)∈ Mn(R)3tel que
C=A+B,C2= 2A+ 3BetC3= 5A+ 6B
Les matricesAetBsont-elles diagonalisables.
Exercice 28Mines-Ponts MP[ 03291 ][correction]
aI) Montrer que, pourz1 zn∈Cavecz16= 0, on a l’égalité
n n
Xzk=X|zk|
k=1k=1
si, et seulement si, il existen−1réels positifsα2 αntels que
∀k>2 zk=αkz1
b) Déterminer toutes les matrices deMn(C)telles queMn=Inet trM=n
Exercice 29[ 03425 ][correction]
Soient
10−00000010
M 0 1 0 0= 0∈ M5(R)
0000010100
etm∈ L(R5)canoniquement associé àM.
a) En procédant à un calcul par bloc, déterminerp∈N?tel queMp=I5.
En déduire queMest diagonalisable dansM5(C).
b) Déterminer un vecteurx∈R5tel quex m(x) m2(x) m3(x)etm4(x)forme
5
une base deR.
Quelle est la matrice dem ?dans cette base
3
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Enoncés
Exercice 30[ 03798 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etF Gdeux sous-espaces
vectoriels supplémentaires non triviaux. On notepla projection surF
parallèlement àGetsla symétrie par rapport àFet parallèlement àG. Enfin on
pose pourfendomorphisme deF
φ(f) =p◦f◦s
ce qui définit un endomorphismeφsurL(E).
a) Montrer queφ simple ». L’endomorphismeannule un polynôme «φest-il
diagonalisable ?
b) Déterminer les éléments propres deφ.
(indice : on pourra considérer les matrices depetsdans une base adaptée à la
décompositionE=F⊕G)
Exercice 31Centrale PC[ 03744 ][correction]
Soientn∈N?etE=Mn(R). PourA B∈Efixées non nulles, on définit
f∈ L(E)par
∀M∈E f(M) =M+tr(AM)B
a) Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 defet en déduire une
condition nécessaire et suffisante sur(A B)pour quefsoit diagonalisable. Quels
sont alors les éléments propres def?
b) DéterminerdimCoù
C={g∈ L(E)f◦g=g◦f}
Enoncé fourni par le concours CENT
