Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d un endomorphisme
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Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d'un endomorphisme

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Eléments propres et diagonalisabilité d’un Exercice 6 [ 00804 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie, f∈L(E) et F∈L(L(E))endomorphisme définie par F (u) =f◦u. a) Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, F l’est. Exercice 1 [ 00799 ] [correction] b) Montrer que f et F ont les mêmes valeurs propres. Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finie E. c) Soit λ une valeur propre de f. Etablir dimE (F ) = dimE× dimE (f).λ λ On suppose que Im(u−Id )∩Im(u +Id ) ={0 }E E E Exercice 7 [ 03015 ] [correction] Montrer que u est diagonalisable. Soient E un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé de E et F :L(E)→L(E) définie par 1Exercice 2 [ 00800 ] [correction] F :f7→ (f◦p +p◦f) 0 2Soit E =R [X]. Pour P∈E, on pose ϕ(P ) =P− (X + 1)P .n a) Justifier que ϕ définit un endomorphisme deR [X].n a)F est-elle linéaire? b) Déterminer les valeurs propres de ϕ et justifier que ϕ est diagonalisable. b)F diagonalisable? c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés? Exercice 3 [ 00801 ] [correction] Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02718 ] [correction]Montrer que l’application Soit A∈R [X], B∈R [X] scindé à racines simples de degré n + 1. Soit Φ 2 00 0 l’endomorphisme deR [X] qui à P∈R [X] associe le reste de la divisionf :P (X)7→ (X − 1)P (X) + 2XP (X) n euclidienne de AP par B. Déterminer les éléments propres de Φ.

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Exrait

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02723 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie etf∈ L(E). On définit
T∈ L(E)→ L(E)par
T(g) =f◦g−g◦f
Montrer que sifest diagonalisable, alorsT siest diagonalisable ;fest nilpotente,
alorsTest nilpotente.

Exercice 4[ 00802 ][correction]
SoientE=Rn[X]et deux réelsa6=b. PourP∈E, on pose

ϕ(P) = (X−a)(X−b)P0−nXP

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a) Montrer queϕest un endomorphisme deE.
b) Déterminer les valeurs propres deϕet en déduire queϕest diagonalisable.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02718 ][correction]
SoitA∈R[X],B∈R[X]scindé à racines simples de degrén+ 1. SoitΦ
l’endomorphisme deRn[X]qui àP∈R[X]associe le reste de la division
euclidienne deAPparB. Déterminer les éléments propres deΦ.
L’endomorphismeΦest-il diagonalisable ?

est un endomorphisme de l’espace vectoriel réelE=Rn[X]. Former la matrice de
frelative à la base canonique deE. En déduire la diagonalisabilité defainsi que
ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02722 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie,f∈ L(E)tel quef2=f.
Etudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l’endomorphisme
u7→f u−ufdeL(E).

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02717 ][correction]
DansR3euclidien, on considère deux vecteursaetb, et on pose
f(x) =a∧(b∧x). A quelle condition,fest-elle diagonalisable ?

Exercice 7[ 03015 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé deEet
F:L(E)→ L(E)définie par

F:f7→(21f◦p+p◦f)
a)Fest-elle linéaire ?
b)F ?est-elle diagonalisable
c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés ?

Exercice 3[ 00801 ][correction]
Montrer que l’application

f:P(X)7→(X2−1)P00(X) + 2XP0(X)

Eléments propres
endomorphisme

et diagonalisabilité

d’un

Exercice 6[ 00804 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,f∈ L(E)etF∈ L(L(E))
définie parF(u) =f◦u.
a) Montrer quefest diagonalisable si, et seulement si,Fl’est.
b) Montrer quefetFont les mmes valeurs propres.
c) Soitλune valeur propre def. EtablirdimEλ(F) = dimE×dimEλ(f).

Exercice 5[ 00803 ][correction]
L’endomorphismeφdeMn(R)défini par

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Exercice 2[ 00800 ][correction]
SoitE=Rn[X]. PourP∈E, on poseϕ(P) =P−(X+ 1)P0.
a) Justifier queϕdéfinit un endomorphisme deRn[X].
b) Déterminer les valeurs propres deϕet justifier queϕest diagonalisable.

Exercice 1[ 00799 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finieE.
On suppose que
Im(u−IdE)∩Im(u+IdE) ={0E}
Montrer queuest diagonalisable.

φ(M) =M+tr(M)In

est-il diagonalisable ?

Enoncés

1

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Enoncés

Exercice 12CCP MP[ 03776 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie ete= (e1     en)une base de
E.
On considère l’endomorphismefdeEdéterminé par

n
∀k∈ {1     n} f(ek) =ek+Xei
i=1

a) Donner la matrice defdanse.
b) Déterminer les sous-espaces propres def.
c) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?
d) Calculer le déterminant def. L’endomorphismef ?est-il inversible

Exercice 13CCP MP[ 03582 ][correction]
SoientA Bfixés dansRn[X].
On notefl’application qui, àP∈Rn[X]associe le reste de la division
euclidienne deAPparB.
a) Montrer quefest un endomorphisme ? ; est-ce un isomorphisme
b) On suppose dans la suite que les polynômesAetBpremiers entre eux avecB
scindé à racines simples ; donner les valeurs propres def.
c) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?

Exercice 14CCP MP[ 03450 ][correction]
On considère unR-espace vectoriel de dimension finieE,uun endomorphisme de
E,U= (uij)la matrice deudans une base deE,eijles projecteurs associés à
cette base etEijla matrice de ces projecteurs.
On considèreϕl’endomorphisme dansL(E)tel que
ϕ(v) =u◦v
a) Montrer queϕetuont les mmes valeurs propres.
b) CalculerU Eijen fonction desEkj. En déduire qu’il existe une base deL(E)
dans laquelle la matrice deϕest diagonale par blocs.
c) Exprimer cette matrice.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Puisque Im(u−IdE)∩Im(u+IdE) ={0E}, on a

rg(u−IdE) +rg(u+IdE)6dimE

puis par la formule du rang

dim ker(u−IdE) + dim ker(u+IdE)>dimE

On en déduit queuest diagonalisable de valeurs propres possibles1et−1.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) clair, notamment il n’y a pas de problème sur le degré deϕ(P).
b)ϕ(Xk) =Xk−k(X+ 1)Xk−1= (1−k)Xk−kXk−1. La matrice deϕdans la
base canonique deEest triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux sont
alors les racines du polynôme caractéristique et ce sont donc les valeurs propres de
ϕà savoir10−1    (1−n). Cesn+ 1 = dimEvaleurs sont distinctes doncϕ
est diagonalisable.

Exercice 3 :[énoncé]
L’applicationfest clairement linéaire deR[X]vers lui-mme. De plus, si
degP6n, il est aisé d’observé quedegf(P)6n. On peut donc conclure quef
est un endomorphisme deRn[X]. Pour toutk∈ {0     n},

f(Xk) =k(k+ 1)Xk−k(k−1)Xk−2

ce qui permet de former la représentation matricielle souhaitée. On constate alors
que la matrice defest triangulaire de coefficients diagonaux
0     k(k+ 1)     n(n+ 1)distincts. Il est alors aisé de calculer le polynôme
caractéristique defest de conclure quefest diagonalisable, de valeurs propres
0     k(k+ 1)     n(n+ 1)et de sous-espaces propres de dimension 1.

Exercice 4 :[énoncé]
a) SidegP6n−1, il est clair queϕ(P)∈E.
SidegP=naprès simplification des termes enXn+1, on obtient queϕ(P)∈E.
La linéarité deϕest claire et donc on peut conclure queϕest un endomorphisme.
b) La matrice deϕdans la base canonique est tridiagonale et peu pratique.

Formons plutôt la matrice deϕdans la base des(X−a)k

donc

ϕ((X−a)k) =k(X−a)k(X−b)−nX(X−a)k

ϕ((X−a)k) = (k−n)(X−a)k+1+ (k(a−b)−na)(X−a)k

et cette fois-ci la matrice deϕest triangulaire inférieure à coefficients
diagonaux distincts :

−nb−(a+ (n−1)b)−(2a+ (n−2)b)    −((n−1)a+b)−na

qui sont les valeurs propres deϕ. Puisqueϕadmetn+ 1valeurs propres
distinctes et quedimE=n+ 1, on peut conclure queϕest diagonalisable

Exercice 5 :[énoncé]
SiMappartient à l’hyperplan des matrices de trace nulle alorsφ(M) =Met
doncM∈E1(φ).
Ainsi l’espace propreE1(φ)de dimension au moins égale àest n2−1.
De plus,φ(In) = (n+ 1)Indonc l’espace propreEn+1(φ)est de dimension au
moins égale à 1.
Puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est au moins égale à
n2= dimMn(R), l’endomorphismeφest diagonalisable (et les inégalités
précédentes étaient des égalités).

3

Exercice 6 :[énoncé]
a) SoitPun polynôme.P(F)(u) =P(f)◦udoncP(f) = 0⇔P(F) = 0. La
diagonalisabilité étant équivalente à l’existence d’un polynôme scindé à racines
simples, on peut conclure.
b)fetFont le mme polynôme minimal donc les mmes valeurs propres.
c) Toutu∈ L(E Eλ(f))⊂ L(E)est élément deEλ(F)donc
dimEλ(F)>dimE×dimEλ(f). Mais par diagonalisabilitédimL(E)) =
PdimEλ(F)>dimE×PdimEλ(f) = dimE2= dimL(E)et donc on
λ∈Sp(F)λ∈Sp(f)
a les égalitésdimEλ(F) = dimE×dimEλ(f)pour toutλ∈Sp(f).

Exercice 7 :[énoncé]
a) oui
b) Pourf∈ L(E).
Si Imf⊂Impetkerp⊂kerfalorsF(f) =f.

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Corrections

Un tel endomorphismefest entièrement déterminé par sa restriction de Impvers
Imp.
On en déduit
dimE1(F)>(dimImp)2
Si Imf⊂kerpet Imp⊂kerfalorsF(f) = 0.
Un tel endomorphismefest entièrement déterminé par sa restriction dekerpvers
kerp.
On en déduit
dimE0(F)>(dim kerp)2
1
Si Imf⊂Impet Imp⊂kerfalorsF(f) =2f.
Un tel endomorphismefest entièrement déterminé par sa restriction dekerpvers
Imp.
Si Imf⊂kerpetkerp⊂kerfalorsF(f) =12f.
Un tel endomorphismefest entièrement déterminé par sa restriction de Impvers
kerp.
De plus un endomorphisme appartenant à ces deux dernières catégories est
nécessairement nul.
On en déduit
dimE12(F)>2 dim kerp×dimImp
Or

PourP∈Rn[X], on aΦ(P) =λPsi, et seulement si,B|(A−λ)P. Or
˜ ˜
A−λ= (X−x0)  (X−xp)Aavecxp+1     xnnon racines deA. Puisque
˜
(X−xp+1)  (X−xn)∧A= 1,B|(A−λ)Péquivaut à
(X−xp+1)  (X−xn)|P.
AinsiEλ(Φ) ={(X−xp+1)  (X−xn)QQ∈Rn−p[X]}.
La somme des dimensions des sous-espaces propres étant égal à la dimension de
l’espace,Φest diagonalisable.

4

Exercice 9 :[énoncé]
Posonsφl’endomorphisme deL(E)étudié. On observe queφ3=φ. Par
annulation d’un polynôme scindé simple, on peut affirmer queφest diagonalisable
de seules valeurs propres possibles01et−1.
En introduisant une base adaptée à la projectionf, la matrice de cet
endomorphisme estI0r00
En notantDCBAla matrice deudans cette base, on obtient :
φ(u) = 0⇔B= 0etC= 0.
φ(u) =u⇔A= 0,C= 0etD= 0.
φ(u) =−u⇔A= 0,B= 0etD= 0.

(dimImp)2+2 dim kerpdimImp+(dim kerp)2= (dimImp+dim kerp)2= dimE2= dimLE(xEe)rcice 10 :[énoncé]
doncF Sest diagonalisable avecfi(bx0=(=)aal|orxs)bf−(0=a.|Sbi)nxirotleo.,naplrfaroumeluddoubleproduitvec
c)dimE1(F) = (dimImp)2,dimE0(F) = (dim kerp)2etf(b) = 0et pour toutx∈Vect(a)⊥,f(x) =−(a|b)x
dimE12(F dim ker) = 2p×dimImpS.i(a|b)6= 0alorsf.estdiagonalisabnusnadeladaesabeàéept
R3=Vect(a)⊥⊕Vect(b).
Exercice 8 :[énoncé]Si(a|b) = 0alorsf(x) = (a|x)bet tout vecteur propre defest soit colinéaire à
B=α(X−x0)  (X−xn)t.bous,soitlaàuaàxrgoohntorgoohntoaa.naDO.rbhrttoessecacsflànagoosedtaigasdeopredrpsruetcevselcnolustne,inalisablesi,etseoaf=so0nt.
SiP∈Rn[X]est vecteur propre deΦassocié à la valeur propreλalors em
B|(A−λ)P. Pour des raisons de degré,BetA−λne peuvent tre premiers
entre eux, ces polynômes ont donc une racine commune. Ainsi il existeExercice 11 :[énoncé]
i∈ {0     n}tel queλ=A(xi). Inversement pourλ=A(xi), ase s de vec ro
nSupposonsfdiagonalisable et soitB= (e1     en)une b teur p pres
P=Q(X−xj),Φ(P) =λPavecP6= 0. Ainsi SpΦ ={A(xi)i∈[0 n]}. def.
j=0j6=isegi’endomorphisme deEdéterminé par
Précisons le sous-espace propre associé à la valeur propreλ=A(xi). Quitte à Pour16i j6n, on pojl
réindexer, on peut supposer queλ=A(x0).gij(ek) =δjkei
qS’uileeλxi=steA(dx’a0)ut=resxi=teAls(xqpu)eeλtλ=6=A(xA(i)xpo+n1)réindeAxe(xenn)oc.elerisniAsxx01xxpnrtsonetlielafamLosed(gij)est une base deL(E)et on observe
racines deA−λalors quexp+1     xnne le sont pas.T(gij) = (λi−λj)gij

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Corrections

doncTest diagonalisable.
Supposonsfnilpotente, c’est-à-dire qu’il existen∈N?pour lequelfn= 0.
PuisqueTp(g)est combinaison linéaire de termes de la formefk◦g◦fp−k, il est
assuré queT2n= 0et donc queTest nilpotente.

Exercice 12 :[énoncé]
a) On obtient

2 (1)
Matef=(1)...2

b) D’une part
f(e1+∙ ∙ ∙+en) = (n+ 1) (e1+∙ ∙ ∙+en))
et d’autre part, pourx=x1e1+∙ ∙ ∙+xnenavecx1+∙ ∙ ∙+xn= 0on a

f(x) =x

On en déduit que 1 etn+ 1sont valeurs propres defet puisque la valeur propre
1 est associé à un hyperplan, il ne peut y avoir d’autres valeurs propres.
En résumé Spf={1 n+ 1}et

E1(f) ={xx1+∙ ∙ ∙+xn= 0}etEn+1(f) =Vect(e1+∙ ∙ ∙+en)

c) L’endomorphismefest diagonalisable car

d) Par les valeurs propres

dimE1(f) + dimEn+1(f) =n

detf= (n+ 1)6= 0

et l’endomorphismefest inversible. . .

Exercice 13 :[énoncé]
L’applicationfest à valeurs dansRn[X]car le resteRd’une division euclidienne
parBvérifie
degR <degB6n

Soientλ1 λ2∈RetP1 P2∈Rn[X].
On a
AP1=BQ1+f(P1)etAP2=

BQ2+f(P2)

donc
A(λ1P1+λ2P2) =B(λ1Q1+λ2Q2) +λ1f(P1) +λ2f(P2)
avec
deg (λ1f(P1) +λ2f(P2))6max{degf(P1)degf(P2)}<degB
Par unicité d’une division euclidienne, on peut affirmer

f(λ1P1+λ2P2) =λ1f(P1) +λ2f(P2)

Puisque les valeurs prises parfsontRn−1[X], l’endomorphismefne peut tre
surjectif, ce n’est donc pas un isomorphisme.
b) Soitλ∈R. Sif(P) =λPalors c’est qu’il existe un polynômeQtel que

AP=BQ+λP

5

Casλ= 0.
On af(P) = 0si, et seulement si, le polynômeBdivise le polynômeAP. OrAet
Bsont premiers entre eux, doncf(P) = 0si, et seulement si,BdiviseP.
On en déduit que 0 est valeur propre defet le sous-espace propre associé est

E0(f) =BVect(1 X     Xn−degB)

c’est-à-dire l’espace des multiples deBinclus dansRn[X].
Casλ6= 0. On obtient
(A−λ)P=BQ

et doncBdivise le polynôme(A−λ)P. OrdegP <degBdonc au moins une des
racines deBn’est pas racine dePet est donc racines deA−λ. Ainsiλ=A(xk)
avecxkune des racines deB.
Inversement, soitxkune racine deB,λ=A(xk)et
Pk=Y(X−xj)6= 0
j6=k

On adegPk<degBetB|(A−A(xk))Pk. On en déduitf(Pk) =A(xk)Pket
doncA(xk)est valeur propre defetPken est un vecteur propre associé.
c) La famille dePkse comprend comme la famille d’interpolation de Lagrange en
lesxk, elle constitue donc une base deRdegB−1[X]. Puisquekerf=E0(f)est un
supplémentaire de cet espace, l’endomorphisme est diagonalisable.

Exercice 14 :[énoncé]
a) Soitλune valeur propre deϕ.
Il existev∈ L(E)\˜0tel queu◦v=λv.

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˜
Soit alorsx∈Etel quev(x)6= 0(ce qui est possible puisquev6= 0)
Puisqueu(v(x)) =λv(x), on peut affirmer queλest valeur propre deu.
Inversement soitλune valeur propre deuetx6= 0un vecteur propre associé.
Considéronsvl’endomorphisme deEdéterminé par

∀16i6n v(ei) =x

Corrections

L’endomorphismevest bien déterminé puisqu’on a ici fixé l’image d’une base.
Puisque au◦v=λv(car cette égalité vaut pour les vecteurs d’une base), on
˜
obtientϕ(v) =λvavecv6= 0. Ainsiλest aussi valeur propre deϕ.
b et c) SachantEijEk`=δjkEi`,

n
U Eij=Xuk`
k`=1

Ek`

n
Eij=Xuki
k=1

Ek j

Dans la base((E11     En1)(E12     En2)    (E1n     Enn)), la matrice de
ϕest diagonale par blocs avec des blocs diagonaux chacun égaux àU.

6

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