Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude d'endomorphismes diagonalisables

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude d’endomorphismes diagonalisables Exercice 5 [ 00809 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension n admettant exactement n valeurs propres distinctes.Exercice 1 [ 00805 ] [correction] n−1a) Montrer qu’il existe un vecteur a∈E tel que la famille (a,f(a),...,f (a))Soient f,g endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. soit une base de E.On suppose que f est diagonalisable. Montrer : b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base? f◦g =g◦f⇔ chaque sous-espace propre de f est stable par g Exercice 6 [ 00810 ] [correction] Soient D = diag(λ ,...,λ ) et ϕ :M7→DM−MD endomorphisme deM (K).1 n nExercice 2 [ 00806 ] [correction] a) Calculer ϕ(E ) où E désigne la matrice élémentaire d’indice (i,j) dei,j i,jSoit v un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension finie M (K).ndiagonalisable. Quelle particularité présente la matrice de ϕ relativement à la base canonique dea) Montrer qu’il existe un endomorphisme u de E vérifiant M (K)?n 2 b) Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E deu =v dimension finie. b) Montrer qu’on peut choisir u solution qui soit un polynôme en v (indice : on L’endomorphisme φ :u7→f◦u−u◦f deL(E) est-il diagonalisable? pourra introduire un polynôme interpolateur). Exercice 7 X MP [ 02675 ] [correction] Exercice 3 [ 00807 ] [correction] Soit E unC-espace vectoriel de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Etude d’endomorphismes diagonalisables

Exercice 1 [ 00805 ] [correction] Soientf gendomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie. On suppose quefest diagonalisable. Montrer :

f◦g=g◦f⇔chaque sous-espace propre defest stable parg

Exercice 2 [ 00806 ] [correction] Soitvun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie diagonalisable. a) Montrer qu’il existe un endomorphismeudeEvérifiant

u 2 =v

b) Montrer qu’on peut choisirusolution qui soit un polynôme env(indice : on pourra introduire un polynôme interpolateur).

Enoncés

Exercice 3 [ 00807 ] [correction] Soitfun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie vérifiant :

«

Tout sous-espace vectoriel stable parfadmet un supplémentaire stable »

Montrer que l’endomorphismefest diagonalisable.

Exercice 4 [ 00808 ] [correction] Soitfun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension n. On noteC f l’ensemble des endomorphismes qui commutent avecf. a) Montrer queC f est un sous-espace vectoriel deL(E). b) Montrer qu’un endomorphismegappartient àC f si, et seulement si, chaque sous-espace propre defest stable parg. c) En déduire que dimC f = X α 2 λ λ∈Sp(f)

oùα λ est l’ordre de multiplicité de la valeur propreλ. d) On suppose que les valeurs propres defsont simples. Montrer que (Id f     f n−1 )est une base deC f .

Exercice 5 [ 00809 ] [correction] Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimensionnadmettant exactementnvaleurs propres distinctes. a) Montrer qu’il existe un vecteura∈Etel que la famille(a f(a)     f n−1 (a)) soit une base deE. b) Quelle est la forme de la matrice defdans cette base ?

Exercice 6 [ 00810 ] [correction] SoientD=diag(λ 1      λ n )etϕ:M7→DM−M Dendomorphisme deM n (K). a) Calculerϕ(E ij )oùE ij désigne la matrice élémentaire d’indice(i j)de M n (K). Quelle particularité présente la matrice deϕrelativement à la base canonique de M n (K)? b) Soitfun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension finie. L’endomorphismeφ:u7→f◦u−u◦fdeL(E)est-il diagonalisable ?

Exercice 7X MP [ 02675 ] [correction] SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer lesf∈ L(E)tels que tout sous-espace vectoriel deEstable parf possède un supplémentaire stable.

Exercice 8Centrale PSI [ 01324 ] [correction] SoientE=S 2 (R), A=  ba dc  ∈ M 2 (R)

etΦ :S 2 (R)→ S 2 (R)définie par

Φ(S) =AS+ t AS a) Déterminer la matrice deΦdans une base deE. b) Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiquesχ Φ etχ A ? c) SiΦest diagonalisable, la matriceAl’est-elle ? d) SiAest diagonalisable, l’endomorphismeΦl’est-il ?

Exercice 9Centrale PC [ 02539 ] [correction] SoitEun espace vectoriel de dimension finien>2.

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