Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude d'endomorphismes diagonalisables

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude d’endomorphismes diagonalisables Exercice 5 [ 00809 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension n admettant exactement n valeurs propres distinctes.Exercice 1 [ 00805 ] [correction] n−1a) Montrer qu’il existe un vecteur a∈E tel que la famille (a,f(a),...,f (a))Soient f,g endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. soit une base de E.On suppose que f est diagonalisable. Montrer : b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base? f◦g =g◦f⇔ chaque sous-espace propre de f est stable par g Exercice 6 [ 00810 ] [correction] Soient D = diag(λ ,...,λ ) et ϕ :M7→DM−MD endomorphisme deM (K).1 n nExercice 2 [ 00806 ] [correction] a) Calculer ϕ(E ) où E désigne la matrice élémentaire d’indice (i,j) dei,j i,jSoit v un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension finie M (K).ndiagonalisable. Quelle particularité présente la matrice de ϕ relativement à la base canonique dea) Montrer qu’il existe un endomorphisme u de E vérifiant M (K)?n 2 b) Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E deu =v dimension finie. b) Montrer qu’on peut choisir u solution qui soit un polynôme en v (indice : on L’endomorphisme φ :u7→f◦u−u◦f deL(E) est-il diagonalisable? pourra introduire un polynôme interpolateur). Exercice 7 X MP [ 02675 ] [correction] Exercice 3 [ 00807 ] [correction] Soit E unC-espace vectoriel de dimension finie.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Etude d’endomorphismes diagonalisables
Exercice 1[ 00805 ][correction] Soientf gendomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie. On suppose quefest diagonalisable. Montrer :
fg=gfchaque sous-espace propre defest stable parg
Exercice 2[ 00806 ][correction] Soitvun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie diagonalisable. a) Montrer qu’il existe un endomorphismeudeEvérifiant
u2=v
b) Montrer qu’on peut choisirusolution qui soit un polynôme env(indice : on pourra introduire un polynôme interpolateur).
Enoncés
Exercice 3[ 00807 ][correction] Soitfun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie vérifiant :
«
Tout sous-espace vectoriel stable parfadmet un supplémentaire stable »
Montrer que l’endomorphismefest diagonalisable.
Exercice 4[ 00808 ][correction] Soitfun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension n. On noteCfl’ensemble des endomorphismes qui commutent avecf. a) Montrer queCfest un sous-espace vectoriel deL(E). b) Montrer qu’un endomorphismegappartient àCfsi, et seulement si, chaque sous-espace propre defest stable parg. c) En déduire que dimCf=Xα2λ λSp(f)
αλest l’ordre de multiplicité de la valeur propreλ. d) On suppose que les valeurs propres defsont simples. Montrer que (Id f     fn1)est une base deCf.
Exercice 5[ 00809 ][correction] Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimensionnadmettant exactementnvaleurs propres distinctes. a) Montrer qu’il existe un vecteuraEtel que la famille(a f(a)     fn1(a)) soit une base deE. b) Quelle est la forme de la matrice defdans cette base ?
Exercice 6[ 00810 ][correction] SoientD=diag(λ1     λn)etϕ:M7→DMM Dendomorphisme deMn(K). a) Calculerϕ(Eij)Eijdésigne la matrice élémentaire d’indice(i j)de Mn(K). Quelle particularité présente la matrice deϕrelativement à la base canonique de Mn(K)? b) Soitfun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension finie. L’endomorphismeφ:u7→fuufdeL(E)est-il diagonalisable ?
Exercice 7X MP[ 02675 ][correction] SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer lesf∈ L(E)tels que tout sous-espace vectoriel deEstable parf possède un supplémentaire stable.
Exercice 8Centrale PSI[ 01324 ][correction] SoientE=S2(R), A=badc∈ M2(R)
etΦ :S2(R)→ S2(R)définie par
Φ(S) =AS+tAS a) Déterminer la matrice deΦdans une base deE. b) Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiquesχΦetχA? c) SiΦest diagonalisable, la matriceAl’est-elle ? d) SiAest diagonalisable, l’endomorphismeΦl’est-il ?
Exercice 9Centrale PC[ 02539 ][correction] SoitEun espace vectoriel de dimension finien>2.
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