Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Trigonalisabilité et polynôme annulateur

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Trigonalisabilité et polynôme annulateur Exercice 1 [ 00864 ] [correction] Soient A∈M (C) (n> 3) vérifiantn nrgA = 2 , trA = 0 et A =On Montrer que A est diagonalisable. Exercice 2 [ 00866 ] [correction] Soit A∈M (C) telle que 0 soit la seule valeur propre de A.n na) Montrer que A = 0. b) Calculer det(A+I ).n c) Soit M∈ GL (C) commutant avec A. Calculer det(A+M).n d) Inversement, quelles sont les matrices A vérifiant : ∀M∈ GL (C),AM =MA⇒ det(A+M) = detM ?n Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02713 ] [correction] Trouver les A deM (C) telles quen 3 2A −4A +4A = 0 et trA = 8. Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 02724 ] [correction] Soit A une matrice carrée réelle d’ordre n. Montrer que A est nilpotente si, et pseulement si, pour tout p∈ [1,n], trA = 0. Exercice 5 Mines-Ponts PC [ 01948 ] [correction] Trouver les matrices M deM (R) vérifiantn 3 2trM = 0 et M −4M +4M =On Exercice 6 [ 03239 ] [correction] 3Soit f∈L(R ) vérifiant 2 3f =f et dimker(f−Id) = 1 3Montrer l’existence d’une base de R dans laquelle la matrice de f est de la forme   1 0 0  0 0 α avec α∈{0,1} 0 0 0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections 2 Corrections La réciproque est immédiate. Exercice 1 : [énoncé] Exercice 4 : [énoncé] dimkerA =n−2 donc 0 est valeur propre de A de multiplicité au moins n−2.