Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Trigonalisabilité et polynôme annulateur
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Trigonalisabilité et polynôme annulateur
Exercice 1[ 00864 ][correction]
SoientA∈ Mn(C)(n>3) vérifiant
rgA= 2, trA= 0etAn6=On
Montrer queAest diagonalisable.
Exercice 2[ 00866 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)telle que 0 soit la seule valeur propre deA.
a) Montrer queAn= 0.
b) Calculerdet(A+In).
c) SoitM∈GLn(C)commutant avecA. Calculerdet(A+M).
d) Inversement, quelles sont les matricesAvérifiant :
∀M∈GLn(C) AM=M A⇒det(A+M) = detM?
Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02713 ][correction]
Trouver lesAdeMn(C)telles que
A3−4A2+ 4A= 0
et trA= 8.
Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02724 ][correction]
SoitAune matrice carrée réelle d’ordren. Montrer queAest nilpotente si, et
seulement si, pour toutp∈[1 n], trAp= 0.
Exercice 5Mines-Ponts PC[ 01948 ][correction]
Trouver les matricesMdeMn(R)vérifiant
trM= 0etM3−4M2+ 4M=On
Enoncés
Exercice 6[ 03239 ][correction]
Soitf∈ L(R3)vérifiant
f2=f3etdim ker(f−Id) = 1
Montrer l’existence d’une base deR3dans laquelle la matrice defest de la forme
1000000α0avecα∈ {01}
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
dim kerA=n−2donc 0 est valeur propre deAde multiplicité au moinsn−2.
PuisqueχAest scindé, la trace deAest la somme des valeurs propres deA
comptées avec multiplicité.
Si 0 est la seule valeur propre deAalorsAest semblable à une matrice
triangulaire supérieure stricte et alorsAn=Once qui est exclu.
SinonApossède alors une autre valeur propre, puis deux car la somme des valeurs
propres est nulle. Par suite la somme des dimensions des sous-espaces propres de
Aest au moinsnet doncAest diagonalisable.
Exercice 2 :[énoncé]
a)Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure stricteT.
b) On peut écrireA=P T P−1donc
det(A+In) = det(T+In) = 1
c)det(A+M) = det(M) det(AM−1+In).
Puisque(AM−1)n=AnM−n=On, 0 est la seule valeur propre deAM−1et par
l’étude qui précèdedet(A+M) = detM.
d) SiAest solution alors pour toutλ6= 0,det(A−λIn)6= 0donc 0 est seule
valeur propre deA.
Exercice 3 :[énoncé]
SiAest solution alorsP=X(X−2)2est annulateur deAet les valeurs propres
deAfigurent parmi{02}. Par la trace, on peut alors affirmer que 2 est valeur
propre de multiplicité 4.
Par le lemme de décomposition des noyaux,ker(A−2Id)2etkerAsont
supplémentaires.
Par multiplicité des valeurs propres, leurs dimensions respectives sont4etn−4.
AinsiAest semblable à
2I4+OMn0−4
0
avecM∈ M4(C)vérifiantM2= 0.
On raisonnant sur le rang, on montre queMest semblable à
00010000 10001000
0 0 0 0
O4,00000000ou0 0 0 0
La réciproque est immédiate.
2
Exercice 4 :[énoncé]
SiAest nilpotente alors seule 0 est valeur propre deAet doncAest semblable à
0?tp>1.
0...0. Par suite trAp= 0pour tou
Inversement, supposons trAp= 0pour toutp∈[1 n].
Notonsλ1 λmles racines non nulles deχfetα1 αmleurs multiplicités
respectives.
m
On a∀16p6m6ntr(fp) =Pαiλpi= 0.
i=1
Ce système de Vandermonde implique :∀16i6p αi= 0et donc l’inexistence de
valeurs propres autres que0ce qui permet de conclure queAest nilpotente via
trigonalisation.
Exercice 5 :[énoncé]
Le polynôme
X3−4X2+ 4X=X(X−2)2
est annulateur deM.
On en déduit SpM⊂ {02}etMtrigonalisable (carMannule un polynôme
scindé).
Par suite trMest la somme des valeurs propres deMcomptées avec multiplicité
et puisque trM= 0, seul 0 est valeur propre deM.
On en déduit que la matriceM−2Inest inversible et puisque
on obtient
M(M−2In)2=On
M=On
Exercice 6 :[énoncé]
Puisque le polynômeX3−X2=X2(X−1)annulefle lemme de décomposition
des noyaux donne
R3= kerf2⊕ker(f−Id)
Sachantdim ker(f−Id) = 1, on adim kerf2= 2.
On ne peut avoirdim kerf= 0et puisquekerf⊂kerf2, on a
dim kerf= 1ou 2
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Sidim kerf= 2alors
R
3= ker(f−Id)⊕kerf
et dans une base adaptée à cette
supplémentarité, la matrice defest
00000
0
1
0
0
Corrections
Sidim kerf= 1alors considéronse3∈kerf2kerfete2=f(e3).
On vérifie aisément que(e2 e3)est une base dekerf2et en considérant un
vecteure1∈ker(f−Id)non nul, on obtient une base(e1 e2 e3)dans laquelle la
matrice defest
000010001
3
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