Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Anneaux

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Anneaux Exercice 5 [ 02236 ] [correction] Soient a,b deux éléments d’un anneau (A,+,×) tels que ab soit inversible et b non diviseur de 0.Exercice 1 [ 02232 ] [correction] 2 Montrer que a et b sont inversibles.On définit surZ deux lois de compositions internes notées + et ? par : (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) et (a,b) ? (c,d) = (ac,ad+bc). 2a) Montrer que (Z ,+, ?) est un anneau commutatif. 2b) Montrer que A ={(a,0)/a∈Z} est un sous-anneau de (Z ,+, ?). Exercice 2 [ 02233 ] [correction] Montrer qu’un anneau (A,+,×) n’a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, tous ses éléments non nuls sont réguliers Exercice 3 [ 02234 ] [correction] Soit x et y deux éléments d’un anneau (A,+,×). a) Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent. b) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+y est nilpotent. c) Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l’est aussi. −1d) Montrer que si x est nilpotent alors 1−x est inversible. Préciser (1−x) . Exercice 4 [ 02235 ] [correction] [Anneau de Boole 1815-1864) On considère (A,+,×) un anneau de Boole c’est à dire un anneau non nul tel que tout élément est idempotent pour la 2e loi ce qui signifie 2∀x∈A, x =x a) Montrer 2∀(x,y)∈A , xy +yx = 0A et en déduire que ∀x∈A, x+x = 0A En déduire que l’anneau A est commutatif. b) Montrer que la relation binaire définie sur A par x4y⇔yx =x est une relation d’ordre.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Anneaux

Exercice 1[ 02232 ][correction]
On définit surZ2deux lois de compositions internes notées + et?par :
(a b) + (c d) = (a+c b+d)et(a b)?(c d) = (ac ad+bc).
a) Montrer que(Z2+ ?)est un anneau commutatif.
b) Montrer queA={(a0)a∈Z}est un sous-anneau de(Z2+ ?).

Exercice 2[ 02233 ][correction]
Montrer qu’un anneau(A+×)n’a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si,
tous ses éléments non nuls sont réguliers

Enoncés

Exercice 3[ 02234 ][correction]
Soitxetydeux éléments d’un anneau(A+×).
a) Montrer que sixest nilpotent et quexetycommutent, alorsxyest nilpotent.
b) Montrer que sixetysont nilpotents et commutent, alorsx+yest nilpotent.
c) Montrer que sixyest nilpotent, alorsyxl’est aussi.
d) Montrer que sixest nilpotent alors1−xest inversible. Préciser(1−x)−1.

Exercice 4[ 02235 ][correction]
[Anneau de Boole 1815-1864)
On considère(A+×)un anneau de Boole c’est à dire un anneau non nul tel que
tout élément est idempotent pour la 2e loi ce qui signifie

a) Montrer

∀x∈A x2=x

∀(x y)∈A2,xy+yx= 0A

et en déduire que
∀x∈A,x+x= 0A
En déduire que l’anneauAest commutatif.
b) Montrer que la relation binaire définie surAparx4y⇔yx=xest une
relation d’ordre.
c) Montrer que
∀(x y)∈A2 xy(x+y) = 0A
En déduire qu’un anneau de Boole intègre ne peut avoir que deux éléments.

1

Exercice 5[ 02236 ][correction]
Soienta bdeux éléments d’un anneau(A+×)tels queabsoit inversible etbnon
diviseur de 0.
Montrer queaetbsont inversibles.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(Z2+)est un groupe commutatif.
(a b)?(c d) = (ac ad+bc) = (c d)?(a b). La loi?est commutative.
((a b)?(c d))?(e f) = (ac ad+bc)?(e f) = (ace acf+ade+bce) =
(a b)?((c d)?(e f)).
(a b)?(10) = (a b)
((a b) + (c d))?(e f) = (a+c b+d)?(e f) = (ae+ce af+cf+be+de)
donc
((a b) + (c d))?(e f) = (ae af+be) + (ce cf+de) = (a b)?(e f) + (c d)?(e f)
Donc(Z2+ ?)est un anneau commutatif.
b)A⊂Z2,(10)∈A.
∀(a0)(b0)∈A, on a(a0)−(b0) = (a−b0)∈Aet(a0)?(b0) = (ab0)∈A.
Aest donc un sous-anneau de(Z2+ ?).

Exercice 2 :[énoncé]
Supposons queAn’ait pas de diviseurs de zéro.
Soitx∈Aavecx6= 0.∀a b∈A,xa=xb⇒x(a−b) = 0⇒a−b= 0carx6= 0
donca=b.
Ainsixest régulier à gauche. Il en est de mme à droite.
Supposons que tout élément non nul deAsoit régulier.
∀x y∈A,xy= 0⇒xy=x0⇒x= 0ouy= 0(par régularité dexdans le cas
oùx6= 0).
Par suite l’anneauAne possède pas de diviseurs de zéro.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soitn∈Ntel quexn= 0.(xy)n=xny0yn= 0doncxynilpotent.
n=
b) Soitn m∈Ntels quexn=ym= 0.
(xm+=n0−1m+n−1!xkym+n
+y)m+n−1=P−1−k=
kk
m
knP=−01m+nk−1!xkym+n−1−k+k+=Pnn−1m+nk−1!xkym+n−1−k
Or∀k∈ {0     n−1},ym+n−1−k= 0carm+n−1−k>met∀k>n xk= 0
donc(x+y)m+n−1= 0 + 0 = 0. Ainsix+yest nilpotent.
c) Soitn∈Ntel que(xy)n= 0.(yx)n+1=y(xy)nx=y0x= 0doncyxnilpotent.
d) Soitn∈Ntel quexn= 0.
1 = 1−xn= (1−x)y=y(1−x)avecy= 1 +x+∙ ∙ ∙+xn−1.
Par suite1−xest inversible etyest son inverse.

Exercice 4 :[énoncé]
a)(x+y)2= (x+y)donnex2+y2+xy+yx=x+ypuisxy+yx= 0sachant
x2=xety2=y.
Poury= 1on obtientx+x= 0A.
b) Commex2=x,4est réflexive.
Six4yety4xalorsyx=xetxy=ydoncxy+yx=x+y= 0.
Orx+x= 0, doncx+y=x+x, puisy=x.
Six4yety4zalorsyx=xetzy=ydonczx=zyx=yx=xi.e.x4z.
Ainsi4est une relation d’ordre surA.
c)xy(x+y) =xyx+xy2=−x2y+xy2=−xy+xy= 0.
yx=−xy
SiAest intègre alors :xy(x+y) = 0A⇒x= 0A,y= 0Aoux+y= 0A.
Orx+y= 0 =x+xdonney=x.
Ainsi, lorsqu’on choisit deux éléments deA, soit l’un deux est nul, soit ils sont
égaux.
Une telle propriété est impossible si Card(A)>3. Par suite Card(A) = 2carA
est non nul.

Exercice 5 :[énoncé]
Soitx=b(ab)−1. Montrons quexest l’inverse dea.
On aax=ab(ab)−1= 1etxab=b(ab)−1ab=bdonc(xa−1)b= 0puisxa= 1
carbn’est pas diviseur de 0. Ainsiaest inversible etxest son inverse.
De plusb=a−1(ab)l’est aussi par produit d’éléments inversibles.

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