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Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Loi de composition interne

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Loi de composition interne Exercice 6 [ 02195 ] [correction] Soit (E, ? ) un monoïde. Un élément x de E est dit idempotent si, et seulement si, x ? x =x.Exercice 1 [ 02190 ] [correction] a) Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors x ? y estOn définit une loi de composition interne ? surR par idempotent. −12 a b b) Montrer que si x est idempotent et inversible, alors x est idempotent.∀(a,b)∈R , a ? b = ln(e + e ) Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des Exercice 7 [ 02196 ] [correction] éléments réguliers? Soit E et F deux ensembles et ϕ :E→F une application bijective. On suppose E muni d’une loi de composition interne ? et on définit une loi > sur F par : Exercice 2 [ 02191 ] [correction] −1 −1∀x,y∈F,x>y =ϕ(ϕ (x) ? ϕ (y)) Soit E = [0, 1]. On définit une loi ? sur E par a) Montrer que si ? est commutative (resp. associative) alors > l’est aussi. b) Montrer que si ? possède un neutre e alors > possède aussi un neutre à∀x,y∈E,x ? y =x +y−xy préciser. a) Montrer que ? est une loi de composition interne commutative et associative. b) Montrer que ? possède un neutre. Exercice 8 [ 02197 ] [correction] c) Quels sont les éléments symétrisables? réguliers? Soit ? une loi de composition interne associative sur E. On suppose qu’il existe a∈E tel que l’application f :E→E définie par f(x) =a ? x ? a soit surjective et on note b un antécédent de a par f.

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Loi de composition interne

Exercice 1[ 02190 ][correction]
On définit une loi de composition interne?surRpar

2a b
∀(a, b)∈R,a ? b= ln(e+e)

Quelles en sont les propriétés ? Possède-t-elle un élément neutre ? Y a-t-il des
éléments réguliers ?

Exercice 2[ 02191 ][correction]
SoitE= [0,1]. On définit une loi?surEpar

∀x, y∈E, x ? y=x+y−xy

Enoncés

a) Montrer que?est une loi de composition interne commutative et associative.
b) Montrer que?possède un neutre.
c) Quels sont les éléments symétrisables ? réguliers ?

Exercice 3[ 02192 ][correction]
Soit?une loi de composition interne surE.
PourA, B∈ P(E)on pose

Etudier les propriétés de
neutre) conservées par?
l’intersection ?

A ? B={a ? b/a∈A, b∈B}

?surE(commutativité, associativité, existence d’un
surP(E). La loi?est-elle distributive sur l’union, sur

Exercice 4[ 02193 ][correction]
SoitEun ensemble etf:E→E.
E
Montrer quefest un élément régulier de(E ,◦)si, et seulement si,fest
bijective.

Exercice 5[ 02194 ][correction]
Soitaun élément d’un monoïde(E, ?).
Montrer queaest symétrisable si, et seulement si, l’applicationf:E→Edéfinie
parf(x) =a ? xest bijective.

1

Exercice 6[ 02195 ][correction]
Soit(E, ?)un monoïde. Un élémentxdeEest dit idempotent si, et seulement si,
x ? x=x.
a) Montrer que sixetysont idempotents et commutent, alorsx ? yest
idempotent.
−1
b) Montrer que sixest idempotent et inversible, alorsxest idempotent.

Exercice 7[ 02196 ][correction]
SoitEetFdeux ensembles etϕ:E→Fune application bijective.
On supposeEmuni d’une loi de composition interne?et on définit une loi>
surFpar :
−1−1
∀x, y∈F, x>y=ϕ(ϕ(x)? ϕ(y))
a) Montrer que si?est commutative (resp. associative) alors>l’est aussi.
b) Montrer que si?possède un neutreealors>possède aussi un neutre à
préciser.

Exercice 8[ 02197 ][correction]
Soit?une loi de composition interne associative surE.
On suppose qu’il existea∈Etel que l’applicationf:E→Edéfinie par
f(x) =a ? x ? asoit surjective et on notebun antécédent deaparf.
0
a) Montrer quee=a ? bete=b ? asont neutres resp. à gauche et à droite puis
0
quee=e.
b) Montrer queaest symétrisable etfbijective.

Exercice 9[ 02198 ][correction]
Soient?une loi de composition interne associative sur un ensemble finiEetxun
élément régulier deE. Montrer queEpossède un neutre.

Exercice 10[ 02199 ][correction]
Soit(E, ?)un monoïde avecEensemble fini.
Montrer que tout élément régulier deEest inversible.

Exercice 11[ 02200 ][correction]
SoitAune partie d’un ensembleE. On appelle fonction caractéristique de la
partieAdansE, l’applicationχA:E→Rdéfinie par :

1six∈A
χA(x) =
0sinon
De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques ?

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a)min(χA, χB)
d)1−χA

b)max(χA, χB)
e)χA+χB−χA.χB

c)χA.χB
f)χA+χB−2χA.χB

Exercice 12X MP[ 03043 ][correction]
SoitEun ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne
associative notée>.
Montrer qu’il existee∈Etel quee>e=e.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
b a a b
∀a, b∈R,b ? a= ln(e+e) = ln(e+e) =a ? b.?est commutative.
a ? b c a b c
∀a, b, c∈R,(a ? b)? c= ln(e+e) = ln(e+e+e) =a ?(b ? c).?est
associative.
a ε ε
a ? ε=a⇔ln(e+e) =a⇔e= 0. Il n’y a donc pas de neutre.
a b a c b c
a ? b=a ? c⇒ln(e+e) = ln(e+e)⇒e=e⇒b=c. Tout élément est
régulier

Exercice 2 :[énoncé]
a)1−(x+y−xy) = (1−x)(1−y)donc six61ety61alorsx ? y61.
Par suite?est bien une loi de composition interne sur
?est clairement commutative et associative.
b) 0 est élément neutre deE.
c) Six∈]0,1]alors pour touty∈[0,1],x ? y=x(1−y) +y >0et doncxn’est
pas inversible (dans[0,1]).
Ainsi, seul 0 est inversible.
Pour toutx, y, z∈[0,1],x ? y=x ? z⇔y(1−x) =z(1−x).
Par suite, toutx∈[0,1[est régulier tandis que 1 ne l’est visiblement pas.

Exercice 3 :[énoncé]
?est bien une loi de composition interne surP(E).
Si?est commutative surE, elle l’est aussi surP(E).
Si?est associative surE, elle l’est aussi surP(E).
Si?possède un neutreedansE, alors?possède un neutre dansP(E)à savoir
{e}car
A ?{e}={a ? e/a∈A}=A
La loi?est distributive sur l’union

A ?(B∪C) ={a ? x/a∈A, x∈B∪C}= (A ? B)∪(A ? C)

En revanche la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre
exemple dansRavec?= +,A={1,−1},B={1}etC={−1}où

et

A ? B∩C=A ?∅=∅

(A ? B)∩A ? C={2,0} ∩ {−2,0}={0}

Exercice 4 :[énoncé]
Supposonsfest bijective.
−1−1
Soientg, h:E→E. Sif◦g=f◦halorsf◦f◦g=f◦f◦hpuisg=h.
De mmeg◦f=h◦f⇒g=het doncfest un élément régulier.
Supposons quefest un élément régulier.
0 0
Soientx, x∈E. Sif(x) =f(x)alorsf◦g=f◦havecgethles fonctions
0
constantes égales àxetx.
0
Par la régularité def, on obtientg=het doncx=x.
SiEest un singleton alorsfest nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctionsgethtelle que

∀x∈E, g(x) =h(x)⇔x∈Imf

On ag◦f=h◦fdonc, par la régularité def,g=hd’où Imf=Epuisf
surjective.

Exercice 5 :[énoncé]
Siaest symétrisable alors considérons l’applicationg:E→Edéfinie par
−1
g(x) =xa ? .
On af◦g=IdEetg◦f=IdEdoncfest bijective.
Sifest bijective alors considéronsbl’antécédent du neutree. On aa ? b=e.
De plusf(b ? a) =a ? b ? a=e ? a=a=f(e)doncb ? a=ecarfinjective.
Par suite,aest symétrisable etbest son symétrique.

Exercice 6 :[énoncé]
a)(x ? y)?(x ? y) = (x ? x)?(y ? y) =x ? y.
−1−1−1−1−1
b)x ? x=x⇒(x ? x) =x⇒x ? x=x.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Supposons?commutative :

−1−1−1−1
∀x, y∈F, y>x=ϕ(ϕ(y)? ϕ(x)) =ϕ(ϕ(x)? ϕ(y)) =x>y

donc>est commutative.
Supposons?associative :

3

−1−1−1−1−1
∀x, y, z∈F,(x>y)>z=ϕ(ϕ(x>y)? ϕ(z)) =ϕ(ϕ(x)? ϕ(y)? ϕ(z)) =x>(y>

donc>est associative.

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Corrections

b) Supposons que?possède un neutreeet montrons quef=ϕ(e)est neutre
pour>.
−1−1
∀x∈F, x>f=ϕ(ϕ(x)? e) =ϕ(ϕ(x)) =x
et
−1−1
f>x=ϕ(e ? ϕ(x)) =ϕ(ϕ(x)) =x
doncfest neutre pour>.

Exercice 8 :[énoncé]
Par la surjectivité def, il existeb∈Etel quea ? b ? a=a.
a)a ? b=a ? a ? c ? a
Pour toutx∈E, il existeα∈Etel qu’on peut écrirex=a ? α ? a.
Poure=a ? b,e ? x=a ? b ? a ? α ? a=a ? α ? a=x.
0 0
Poure=b ? a,x ? e=x ? b ? a=a ? α ? a ? b ? a=a ? α ? a.
0 0
e ? e=e=e.
b) Puisquea ? b=b ? a=e,aest symétrisable et sym(a) =b.
De plusg:x→b ? x ? best clairement application réciproque def.

Exercice 9 :[énoncé]
? n
Considérons l’applicationf:N→Edéfinie parf(n) =x.
PuisqueNest infini et que l’ensembleEest fini, l’applicationfn’est pas injective
et donc il existep > q∈Ntels quef(p) =f(q)i.e.
? p ? q
x=x

Pour touty∈E.
? p ? q
x ? y=x ? y
Puisquexest régulier, on obtient :

?(p−q)
x ? y=y
?(p−q)?(p−q)
De mmey ? x=yet donce=xest neutre.

Exercice 10 :[énoncé]
Soitaun élément régulier.
Considérons l’applicationf:E→Edéfinie parf(x) =a ? x.
L’applicationfest injective.
Eest fini doncfest bijective et par suite surjective d’où∃b∈Etel quea ? b=e.
f(e) =aetf(b ? a) =a ? b ? a=e ? a=adonc par l’injectivité def:b ? a=e.
Finalementaest inversible.
? n
On peut aussi partir def:N→Edéfinie parf(n) =aqui n’est pas injective.

Exercice 11 :[énoncé]
a)A∩B
b)A∪B
c)A∩B
d)CEA
e)A∪B
f)AΔB

4

Exercice 12 :[énoncé]
Considérons l’applicationf:x7→x>xdeEversE.
n
Pourx∈E, la suite des élémentsx, f(x), . . . , f(x), . . .ne peut tre formée
d’éléments deux à deux distincts car l’ensembleEest fini.
p q
Ainsi il existep < q∈Ntel quef(x) =f(x).
p ? n
Posonsa=f(x)etn=q−p∈Nde sorte quef(a) =a.
n
2 2 4 3 8n2
On af(a) =a,f(a) =a,f(a) =a,. . . ,f(a) =a.
m ?
Notons qu’ici la notationapour un itéré deaest possible pourm∈Ncar la loi
` m `+m ?
>est associative. De plus, on peut affirmer quea>a=apour`, m∈N.
n
2−1
Poure=a∈E, on a
n+1n nn n
2 2−2 2 2−2 2−2 2−1
e>e=e=a=a>a=a>a=a=e.

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