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Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Sous-anneau

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Sous-anneau Exercice 1 [ 02237 ] [correction] Soit d∈N, on note h i n o√ √ 2Z d = a+b d|(a,b)∈Z h i√ Montrer queZ d est un sous-anneau de (R,+,×). Exercice 2 [ 02238 ] [correction] On note n on D = |n∈Z,k∈N k10 l’ensemble des nombres décimaux.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Sous-anneau

Exercice 1[ 02237 ][correction]
Soitd∈N, on note
Zh√di=na+b√d|(a b)∈Z2o
Montrer queZh√diest un sous-anneau de(R+×).

Exercice 2[ 02238 ][correction]
On note
D=n1n0k|n∈Z k∈No
l’ensemble des nombres décimaux.
Montrer queDest un sous-anneau de(Q+×).

Exercice 3[ 02239 ][correction]
[Anneau des entiers de Gauss 1777-1855)
On note
Z[i] =a+ib|(a b)∈Z2

Enoncés

a) Montrer queZ[i]est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication
des nombres complexes.
b) Déterminer les éléments inversibles de l’anneauZ[i].

Exercice 4[ 02240 ][correction]
Soit
A=nmmn∈Zetn∈N?impairo
a) Montrer queAest un sous anneau de(Q+×).
b) Quels en sont les éléments inversibles ?

Exercice 5[ 02241 ][correction]
Soit
A=n2mnm∈Zetn∈No
a) Montrer queAest un sous anneau de(Q+×).
b) Quels en sont les éléments inversibles ?

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Zh√di⊂R,1∈Zh√di.
Soientx y∈Zh√di, on peut écrirex=a+b√dety=a0+b0√davec
a b a0 b0∈Z.
x−y= (a−a0) + (b−b0)√daveca−a0 b−b0∈Zdoncx−y∈Zh√di.
xy= (aa0+bb0d) + (ab0+a0b)√davecaa0+bb0d ab0+a0b∈Zdoncxy∈Zh√di.
AinsiZh√diest un sous-anneau de(R+×).

Exercice 2 :[énoncé]
D ⊂Qet1∈ Dcar1 =1010.
Soientx y∈ D, on peut écrirex=10nkety=10m`avecn m∈Zetk `∈N.
x−y=n110`0−k+m`10kavecn10`−m10k∈Zetk+`∈Ndoncx−y∈ D.
xy=10nkm+`avecnm∈Zetk+`∈Ndoncxy∈ D.
AinsiDest un sous-anneau de(Q+×).

Exercice 3 :[énoncé]
a) Montrer queZ[i]est un sous anneau de(C+×).Z[i]⊂C,1∈Z[i].
∀x y∈Z[i], on peut écrirex=a+ibety=a0+ib0aveca b a0 b0∈Z.
0
x−y= (a−a0) +i(b−b0)aveca− b ba 0∈Zdoncx−y∈Z[i].

xy= (aa0−bb0) +i(ab0+a0b)avecaa0−bb0 ab0+a0b∈Zdoncxy∈Z[i].
AinsiZ[i]est un sous-anneau de(C+×).
b) Soitx=a+ib∈Z[i]aveca b∈Z.
Sixest inversible dansZ[i], il l’est aussi dansCet de mme inverse.
Doncx6= 0(i.e.(a b)6= (00)) et
−11a−ib
x= =a2+b2∈Z[i]
a+ib
d’où
a
a2+b2∈Zeta2b+b2∈Z

Par suiteab
a2+b2∈Zora2a+bb2612doncab= 0.
Sib= 0alorsa=1
a2+b2a∈Zdonnea=±1.
Sia= 0alorsb=1Zdonneb=±1.
a2+b2b∈
Ainsi, six=a+ibest inversible,x= 1 i−1ou−i.
La réciproque est immédiate.

Exercice 4 :[énoncé]
a)A⊂Q,1∈A,∀x y∈A x−y∈Aetxy∈A: clair.
Par suiteAest un sous anneau de(Q+×).
b)x∈Ainversible si, et seulement si, il existeest y∈Atel quexy= 1.
x=mn y=nm00avecn n0impairs.xy= 1⇒mm0=nn0doncmest impair et la
réciproque est immédiate.
Ainsi
U(A) =nnmn∈N?impairso
m∈Z

Exercice 5 :[énoncé]
a)A⊂Q,1∈A,∀x y∈A x−y∈Aetxy∈A: facile.
AinsiAest un sous anneau de(Q+×).
b)x∈Aest inversible si, et seulement si, il existey∈Atel quexy= 1.
Puisqu’on peut écrirex=2mn y=2mn00avecm m0∈Zetn n0∈N,

0
xy= 1⇒mm0= 2n+n

Par suitemest, au signe près, une puissance de 2.
La réciproque est immédiate.
Finalement
U(A) =±2kk∈Z

2

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