Sujet : Analyse, Calcul approché d'une intégrale

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Etude de fonction. Fonction définie par une intégrale dont la borne supérieure est la variable.

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Calcul approché d’une intégrale

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé (;,) .

Partie I Etude d’une fonction

On notela fonction définie surℝ+∗ (par :=ln2.
1)+
On notela courbe représentative de.
1.a Justifier queest∞surℝ+∗.
1.b Montrer que pour tout>0 ,′() est du signe de()=1+2−22ln.
1.c Etudier les variations de la fonction. On montrera en particulier que l’équation()=0 admet une et
une seule solution surℝ+∗, cette solution sera notée.
2.a Dresser le tableau de variations de.
On calculera les limites deen 0 et+∞, et on montrera que()=122.
2.b Représenter dans un repère orthonormé la courbe d’équation=() .
On donnera une valeur approchée deà 10−2près en précisant la méthode utilisée.

Partie II Etude d’une fonction intégrale

On étudie dans cette partie la fonctiondéfinie par :∀>0,()=1() d=∫1l1+n2d.

La courbe représentative desera notéeΓ.
1.a Déterminer le signe desurℝ+∗.
1.b Justifier la continuité et la dérivabilité desurℝ+∗.
1.c Calculer′() pour>0 .

3.a

3.b

3.c

3.d

4.a

4.b

Mon∀>0,()=1.
trer que :

Soitϕla fonction définie surℝ+∗par :∀>0,ϕ()=arctan.

Montrer queϕ .est prolongeable par continuité en 0

Montrer que :> )0, (= d ) (arctan ln
∀    −1ϕ .
En déduire queest prolongeable par continuité en 0 .
La nouvelle fonction ainsi obtenue sera encore notée.
Que peut-on dire deau voisinage de+∞?
Montrer que . 0n’est pas dérivable à droite en
Que peut-on dire deΓau point d’abscisse 0 ?
Dans cette question, on cherche à calculer une valeur approchée de(0) .

Pour∈ℕet>0 , calculer()lnd
=1.
Montrer que :∀∈ℕ,∀>,0112=∑=0(−1)2+(−1)+11+2+22.
+

4.c

4.d

4.e


En déduire, pour∈ℕet∈0,1 , une majoration de()−∑(−1)2() .
=0

On=
pose, pour∈ℕ,∑=(2(−11))2.
0+
Montrer− ≤1 .
que :(0)(2+3)2

Donner, endétaillant la méthode utilisée, une valeur approchée à 10−2près de(0) .

Tracer l’allure de la courbeΓ. On précisera le point d’inflexion.

Voir