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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Espace complet
Exercice 1[ 03304 ][correction]
On note`∞(NC)l’espace des suitesu= (u(n))n∈Nsommables normé par
kuk∞= sup|u(n)|
n∈N
Montrer que cet espace normé est complet.
Exercice 2[ 03296 ][correction]
On note`1(NC)l’espace des suites complexesu= (u(n))n∈Nsommables normé
par
+∞
kuk1=X|u(n)|
n=0
Montrer que cet espace normé est complet.
Exercice 3[ 03647 ][correction]
On note`2(NR)l’espace des suites réellesu= (u(n))n∈Nde carrés sommables
normé par
2
kuk2=n+=X∞0(u(n))!12
Montrer que cet espace normé est complet.
Exercice 4[ 03297 ][correction]
n
PourP=PakXk∈K[X], on pose
k=0
N(P) =06mka6xn|ak|
a) Vérifier queNest une norme surK[X].
b) On pose
Pn=X+∙ ∙ ∙+ 1Xn
n
Vérifier que la suite(Pn)est de Cauchy pour la normeN.
c) On suppose que la suite(Pn)converge et on notePsa limite.
Enoncés
Montrer qu’il existe un natureldtel que
d) Conclusion ?
∀n > d N(Pn−P)>d+11
Exercice 5[ 01184 ][correction]
On considèreE=C([01]R)normé par
1
kfk=Z|f(x)|dx
0
Pour toutn∈N {01}, on considèrefn: [01]→Rdéfinie par
1si06x612−1n
fn(x) =0−nx+n2siis1122−61xn661x612
a) Montrer que la suite(fn)n∈Nest de Cauchy
b) En déduire que l’espace vectoriel normé(Ekk)n’est pas complet.
Exercice 6Centrale MP[ 02476 ][correction]
Sin∈N?, soitfnla fonction continue égale à 0 sur[012], affine sur
[1212 + 1(n+ 1)]et égale à 1 sur[12 + 1(n+ 1)1].
a) Représenterfnavec la fonctionpiecewisede Maple.
b) Montrer que(fn)n>1est de Cauchy pour la normekk1.
c) L’espace muni dekk1 ?est-il complet
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soit(up)une suite de Cauchy d’éléments de`∞(NC)(i.e une suite de suites. . . )
Pourn∈N, on a
|uq(n)−up(n)|6kuq−upk∞
donc la suite numérique(up(n))est de Cauchy. PuisqueCest complet, cette suite
converge et on peut poser
u(n lim) =u
p→+∞p(n)
En faisant variern, ce qui précède définit une suiteu= (u(n)).
Nous allons montrer que cette suiteuappartient à l’espace`∞(NC)puis que la
suite(up)converge versu.
Puisque la suite(up)est de Cauchy, elle est bornée et donc il existeM∈R+tel
que
∀p∈Nkupk∞6M
Soitn∈N. On a
|u(n)|= lim|u(n)|
Or
donc
p
p→+∞
|up(n)|6kupk∞6M
|u(n)|6M
On peut donc affirmer queuest élément de l’espace`∞(NC).
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que
Soitn∈N. On a
∀p q>Nkuq−upk∞6ε
|u(n)−up(n)|=q→li+m∞|uq(n)−up(n)|
Or
|uq(n)−up(n)|6kuq−upk∞
Ainsi, pourp>Netqassez grand
|uq(n)−up(n)|6ε
Par passage à la limite dansq→+∞, on obtient
|u(n)−up(n)|6ε
et puisque ceci vaut pour toutn∈Non parvient à
ku−upk∞6ε
On peut alors conclure que la suite(up)converge versu.
Puisque toute suite de Cauchy est convergente, l’espace`∞(NC)est complet.
2
Exercice 2 :[énoncé]
Soit(up)une suite de Cauchy d’éléments de`1(NC)(i.e une suite de suites. . . )
Pourn∈N, on a
−
|uq(n)−up(n)|6kuqupk1
donc la suite numérique(up(n))est de Cauchy. PuisqueCest complet, cette suite
converge et on peut poser
u(n lim) =up(n)
p→+∞
En faisant variern, ce qui précède définit une suiteu= (u(n))∈CN.
Nous allons montrer que cette suiteuappartient à l’espace`1(NC)puis que la
suite(up)converge versu.
Puisque la suite(up)est de Cauchy, elle est bornée et donc il existeM∈R+tel
que
∀p∈Nkupk16M
Soitn∈N. On a
Or
donc
n n
X|u(k)|= l→i+m∞X|up(k)|
k=0kp=0
n
X|up(k)|6kupk16M
k=0
n
X|u(k)|6M
k=0
Ainsi les sommes partielles de la série à termes positifsP|u(n)|sont majorées et
donc cette série converge. On peut donc affirmer queuest élément de l’espace
`1(NC).
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que
∀p q>Nkuq−upk16ε
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Soitn∈N. On a
n n
X|u(k)−up(k)|=ql→i+m∞X|uq(k)−up(k)|
k=0k=0
Or
n
X|uq(k)−up(k)|6ku−upk1
q
k=0
Ainsi, pourp>Netqassez grand
n
X|uq(k)−up(k)|6ε
k=0
Par passage à la limite dansq→+∞, on obtient
n
X|u(k)−up(k)|6ε
k=0
et puisque ceci vaut pour toutn∈Non parvient à
ku−upk16ε
On peut alors conclure que la suite(up)converge versu.
Puisque toute suite de Cauchy est convergente, l’espace`1(NC)est complet.
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
Soit(up)une suite de Cauchy d’éléments de`2(NR)(i.e une suite de suites. . . )
Pourn∈N, on a
|uq(n)−up(n)|6kuq−upk2
donc la suite numérique(up(n))est de Cauchy. PuisqueRest complet, cette suite
converge et on peut poser
u(n) =pl→i+mup(n)
∞
En faisant variern, ce qui précède définit une suiteu= (u(n))∈RN.
Nous allons montrer que cette suiteuappartient à l’espace`2(NR)puis que la
suite(up)converge versu.
Puisque la suite(up)est de Cauchy, elle est bornée et donc il existeM∈R+tel
que
∀p∈Nkupk26M
Soitn∈N. On a
Or
n n
X(u(k))2=pl→i+m∞X(up(k))2
k=0k=0
n
X(up(k))26kupk226M2
k=0
3
donc
n
X(u(k))26M
k=0
Ainsi les sommes partielles de la série à termes positifsP(u(n))2sont majorées et
donc cette série converge. On peut donc affirmer queuest élément de l’espace
`2(NR).
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que
Soitn∈N. On a
∀p q>Nkuq−upk26ε
n n
)−up(k))2= l→i+m∞X(uq(k)−up(
kX=0(u(kkq=0k))2
Or
n
X(u(k)−up(k))26kuq−upk2
2
k=0
Ainsi, pourp>Netqassez grand
n
X(u(k)−up(k))26ε2
k=0
Par passage à la limite dansq→+∞, on obtient
n
X(u(k)−up(k))26ε2
k=0
et puisque ceci vaut pour toutn∈Non parvient à
ku−upk26ε
On peut alors conclure que la suite(up)converge versu.
Puisque toute suite de Cauchy est convergente, l’espace`2(NC)est complet.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Exercice 4 :[énoncé]
a) L’applicationNest bien définie deE=K[X]versR+.
SiN(P) = 0alorsa0= =an= 0et doncP= 0.
N(λP) =06mka6xn|λ| |ak|=|λ|06mka6xn|ak|=|λ|N(P)car|λ|>0.
PourP Q∈K[X], en prenantnassez grand, on peut écrire
n n
P=XakXketQ=XbkXk
k=0k=0
et alorsN(P+Q) =06mka6xn|ak+bk|606mka6xn(|ak|+|bk|)6
mka6x|ak|+ max|bk|=N(P) +N(Q)
06n06k6n
b) Pourn p∈N, on a
N(Pn+p−Pn) =n1
Pourε >0etNassez grand on a
∀n>N∀p∈N N(Pn+p−Pn)6ε
c) Soitd∈Nsupérieur au degré deP. Pourn > d, le polynômePn−Pa le
coefficient1(d+ 1)devant le termeXd+1et donc
N(PnP)>1
−
d+ 1
Corrections
d) Ce qui précède empche la suite(Pn)de converger versPet donc il est
absurde de supposer que la suite(Pn)converge. On en déduit que l’espaceK[X]
normé parNn’est pas complet.
Exercice 5 :[énoncé]
a)fn+p−fnest nulle sur[012−1n], nulle sur[121]et bornée par2sur
[12−1n12]